対称座標法の変換公式と複素数ベクトル演算の理解について

みなさん、こんにちは！

ブリュの公式ブログ.org（for Academic Style）にお越しいただきまして、ありがとうございます！

今回は、対称座標法で登場する変換公式について解説します。

対称座標法の問題を解く場合、結局は公式を覚えて、問題に沿って適用していけば解くことはできます。

しかし、ベクトルを扱う関係上、きっちりとイメージを持っておくことは推奨されます。

この記事では対称座標法の変換公式がどのように複素数ベクトルの計算をしているのかといった図的なイメージの部分も解説します。

できるだけ丁寧に解説したので、順に読み進めてもらえたらあと思います。

※この記事では、電流について書いていますが、電圧でも同じです。適宜読み替えてください。

この記事の前提となる、対称座標法がなぜ必要であるかのイメージについては、以前の記事で分かりやすく説明しました。

→対称座標法がなぜ必要なのかイメージをわかりやすく解説！

また、対称座標法について順序立てて学びたい方は、

→対称座標法の解説記事一覧と電験の出題例

をご覧ください。

対称座標法の変換公式

まずは対称座標法の変換公式を紹介します。

ひとまず、問題が解ければそれでいいという場合には、以下の式(1)と式(2)だけ確実に暗記してください。

■a, b, c相→零相, 正相, 逆相

$$\left(\begin{matrix}\dot{I_0} \\ \dot{I_1} \\ \dot{I_2}\end{matrix}\right)
=\frac{1}{3}\left(
\begin{matrix}
1&1&1\\
1&a&a^2\\
1&a^2&a
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
\dot{I_a} \\ \dot{I_b}\\ \dot{I_c}
\end{matrix}\right)\tag{1}$$

■零相, 正相, 逆相→a, b, c相

$$\left(\begin{matrix}
\dot{I_a} \\ \dot{I_b} \\ \dot{I_c}\end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & a^2 & a \\
1 & a & a^2
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
\dot{I_0} \\ \dot{I_1} \\ \dot{I_2}
\end{matrix}\right)\tag{2}$$

ここで、$a$はベクトルオペレーターと呼び、複素平面上において反時計回りに120°回転させる演算子です。

図1　ベクトルオペレーター

念のため、式(2)より、

$$\left(\begin{matrix}
\dot{I_a}\\ \dot{I_b}\\ \dot{I_c}
\end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
\dot{I_0}\\ \dot{I_1}\\ \dot{I_2}
\end{matrix}\right)$$

とできて、さらに式(1)から、

$$\left(\begin{matrix}
\dot{I_a}\\ \dot{I_b}\\ \dot{I_c}
\end{matrix}\right)
=\left(\begin{matrix}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2
\end{matrix}\right)
・\frac{1}{3}
\left(\begin{matrix}
1&1&1\\
1&a&a^2\\
1&a^2&a
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
\dot{I_a} \\ \dot{I_b}\\ \dot{I_c}
\end{matrix}\right)$$

となります。これは、a, b, c相をいったん零相, 正相, 逆相に変換した後、再びa, b, c相に戻しています。よって、右辺と左辺は等しいはずです。

確認してみましょう。

$$\begin{align}
\left(\begin{matrix}
\dot{I_a}\\ \dot{I_b}\\ \dot{I_c}
\end{matrix}\right)
&=\frac{1}{3}
\left(\begin{matrix}
1&1&1\\
1&a^2&a\\
1&a&a^2
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
1&1&1\\
1&a&a^2\\
1&a^2&a
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
\dot{I_a}\\
\dot{I_b}\\
\dot{I_c}
\end{matrix}\right)\\
&=\frac{1}{3}
\left(\begin{matrix}
1+1+1&1+a+a^2&1+a^2+a\\
1+a^2+a&1+a^3+a^3&1+a^4+a^2\\
1+a+a^2&1+a^2+a^4&1+a^3+a^3
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
\dot{I_a}\\ \dot{I_b}\\ \dot{I_c}
\end{matrix}\right)
\end{align}$$

ここで、$a^3=1$で整理すると、

$$\left(\begin{matrix}
\dot{I_a}\\ \dot{I_b}\\ \dot{I_c}
\end{matrix}\right)
=\frac{1}{3}
\left(\begin{matrix}
1+1+1&1+a+a^2&1+a^2+a\\
1+a^2+a&1+1+1&1+a+a^2\\
1+a+a^2&1+a^2+a&1+1+1
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
\dot{I_a}\\ \dot{I_b}\\ \dot{I_c}
\end{matrix}\right)$$

さらに、$1+a+a^2=0$であるから、

$$\begin{align}
\left(\begin{matrix}
\dot{I_a}\\ \dot{I_b}\\ \dot{I_c}
\end{matrix}\right)
&=\frac{1}{3}
\left(\begin{matrix}
3&0&0\\
0&3&0\\
0&0&3
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
\dot{I_a}\\ \dot{I_b}\\ \dot{I_c}
\end{matrix}\right)\\
&=\left(\begin{matrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
\dot{I_a}\\ \dot{I_b}\\ \dot{I_c}
\end{matrix}\right)\\
&=\left(\begin{matrix}
\dot{I_a}\\ \dot{I_b}\\ \dot{I_c}
\end{matrix}\right)
\end{align}$$