対称座標法による2線地絡故障電流の計算方法

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今回は、対称座標法で2線地絡故障時の地絡電流を計算する方法について説明します。

対称座標法を使った2線地絡時の故障電流の計算は、

• $a$, $b$, $c$相における2線地絡条件を求める
• 対称分に変換する
• 対称分等価回路を描く
• 対称分の解を求める
• $a$, $b$, $c$相に戻す

といった計算過程になります。

慣れてしまえば、ひとつひとつの計算は簡単なので、何度か計算過程を追ってみて、慣れましょう。

2線地絡条件の導出

まずは2線地絡条件を導出します。

ここで考えるのは$b$相と$c$相の2線が地絡した状況です。

また、対称座標法を用いるにあたり、故障点から見た零相インピーダンス$\dot{Z_0}$、正相インピーダンス$\dot{Z_1}$、逆相インピーダンス$\dot{Z_2}$は既知であるものとして取り扱います。

図1　$b$相と$c$相の2線地絡故障

2線地絡故障について電気回路で表すと、下図の通りになります。

図2　2線地絡故障の回路図

図2から明らかなように、電流について、

$$\begin{cases}
\dot{I_a}=0\\
\dot{I_b}+\dot{I_c}=\dot{I_g}
\end{cases}\tag{1}$$

であり、電圧条件について、

$$\dot{V_b}=\dot{V_c}=R_g\dot{I_g}\tag{2}$$

となります。

この式(1)と式(2)をまとめて2線地絡条件といいます。

2線地絡条件を対称分に変換する

では、式(1)と式(2)で示される1線地絡条件を、以下の対称座標法の変換公式を利用して、対称分に変換していきます。

$$\left(\begin{matrix}\dot{I_0} \\ \dot{I_1} \\ \dot{I_2}\end{matrix}\right)
=\frac{1}{3}\left(
\begin{matrix}
1&1&1\\
1&a&a^2\\
1&a^2&a
\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}
\dot{I_a} \\ \dot{I_b}\\ \dot{I_c}
\end{matrix}\right)\tag{3}$$

電流条件について

電流条件である式(1)の1つ目の式から、

$$\dot{I_a}=\dot{I_0}+\dot{I_1}+\dot{I_2}=0\tag{4}$$

の条件がわかります。

次に、式(1)の両方について対称分に直すと、

$$\begin{align}
\left(\begin{matrix}\dot{I_0}\\\dot{I_1}\\\dot{I_2}\\\end{matrix}\right)&=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}1&1&1\\1&a&a^2\\1&a^2&a\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\dot{I_a}\\\dot{I_b}\\\dot{I_c}\\\end{matrix}\right)\\
&=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}1&1&1\\1&a&a^2\\1&a^2&a\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\dot{I_b}\\\dot{I_c}\\\end{matrix}\right)\\
&=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}\dot{I_b}+\dot{I_c}\\a\dot{I_b}+a^2\dot{I_c}\\a^2\dot{I_b}+a\dot{I_c}\\\end{matrix}\right)\\
&=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}
\dot{I_g} \\ a\dot{I_b}+a^2\dot{I_c} \\ a^2\dot{I_b}+a\dot{I_c}\end{matrix}\right)\tag{5}
\end{align}$$

となって、式(4)の1行目を取り出すと、1線地絡故障と同様に、

$$\dot{I_0}=\frac{1}{3}\dot{I_g}\tag{6}$$

の関係がわかります。

電圧条件について

次に、式(2)の電圧条件について、

$$\begin{align}
\left(\begin{matrix}\dot{V_0}\\\dot{V_1}\\\dot{V_2}\\\end{matrix}\right)&=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}1&1&1\\1&a&a^2\\1&a^2&a\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\dot{V_a}\\\dot{V_b}\\\dot{V_c}\\\end{matrix}\right)\\
&=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}1&1&1\\1&a&a^2\\1&a^2&a\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\dot{V_a}\\\dot{V_b}\\\dot{V_b}\\\end{matrix}\right)\\
&=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}\dot{V_a}+\dot{V_b}+\dot{V_b}\\\dot{V_a}+a\dot{V_b}+a^2\dot{V_b}\\\dot{V_a}+a^2\dot{V_b}+a\dot{V_b}\\\end{matrix}\right)\\
&=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}\dot{V_a}+2\dot{V_b}\\\dot{V_a}+\left(a+a^2\right)\dot{V_b}\\\dot{V_a}+\left(a+a^2\right)\dot{V_b}\\\end{matrix}\right)\\
&=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix}\dot{V_a}+2\dot{V_b}\\ \dot{V_a}+\left(a+a^2\right)R_g\dot{I_g} \\ V_a+\left(a+a^2\right)R_g\dot{I_g}\end{matrix}\right)\tag{7}
\end{align}$$

となり、正相電圧と逆相電圧が等しい、

$$\dot{V_1}=\dot{V_2}\tag{8}$$

の関係がわかります。

また、故障点の電圧については、式(2)と式(5)の結果を用いて、

$$\dot{V_b}=\dot{V_c}=R_g\dot{I_g}=3R_g\dot{I_0}\tag{9}$$

となります。

式(7)から正相電圧$\dot{V_1}$と逆相電圧$\dot{V_2}$が等しいから、

$$\begin{align}
\dot{V_b}=\dot{V_0}+a^2\dot{V_1}+\dot{V_2}
=\dot{V_0}+a^2\dot{V_1}+a\dot{V_1}
=\dot{V_0}+\left(a+a^2\right)\dot{V_1}
=\dot{V_0}-\dot{V_1}\tag{10}
\end{align}$$

であるから、これに式(8)より、

$$\dot{V_0}=\dot{V_1}+\dot{V_b}=\dot{V_1}+3R_g\dot{I_0}\tag{11}$$

となります。

2線地絡故障における対称分等価回路

いろいろ条件が出てきてややこしいですが、まず必要な条件は対称分電流の関係性を示す式(3)で、

$$\dot{I_0}+\dot{I_1}+\dot{I_2}=0\tag{12}$$

であることから、電流がある一点に集約される様子がわかります。

そのため、対称分回路の一端は、一か所に集約されます。

また、これだけでは対称分回路の他端をどう接続するかわかりません。そこで、対称分回路の電圧条件が必要になり、式(7)のとおり、正相電圧と逆相電圧は等しく、

$$\dot{V_1}=\dot{V_2}\tag{13}$$

であるから、正相回路と逆相回路は完全に並列接続であることがわかります。

残る零相回路ですが、式(10)に示す通り、

$$\dot{V_0}=\dot{V_1}+3R_g\dot{I_0}\tag{14}$$

であるので、正相回路と、零相回路の電圧条件が明確になります。

② 対称分等価回路の導出

これより対称分等価回路を描くと、図3の通りになります。図3の対称分等価回路では、赤の部分で電流条件である式(3)が、緑の部分で電圧条件である式(7)が満たされています。

図3　2線短絡故障の対称分等価回路（地絡抵抗R_g未接続）

さて、この対称分等価回路に地絡抵抗$R_g$を接続しますが、式(10)で示される通り、零相電流$\dot{I_0}$によって$3R_g\dot{I_0}$の電圧降下が必要なため、図4のように、$3R_g$を接続します。（この考え方は1線地絡故障と同じです。）

図4で水色の部分が零相電圧$\dot{V_0}$であり、緑の部分の電圧降下を辿ると$\dot{V_1}+3R_g\dot{I_1}$となるので、式(10)が満たされていることがわかります。

図4　2線地絡故障の対称分等価回路

2線地絡電流の対称分における解

図4から零相電流$\dot{I_0}$を求めることで地絡電流の計算できますが、図4の回路図では電流の計算が難しいです。

そこで、図5のように色分けし、電源$\dot{E}$から見た回路インピーダンスを計算することで、まずは正相電流\dot{I_1}を求めてみます。

電源$\dot{E}$から見たインピーダンスは、水色の$\dot{Z_1}$が直列に接続されており、残りは赤色の$\dot{Z_0}+3R_g$、黄色の$\dot{Z_2}$が並列に接続されている状態になります。

よって、電源$\dot{E}$からみたインピーダンス$\dot{Z}$は、

$$\dot{Z}=\dot{Z_1}+\frac{1}{\frac{1}{\dot{Z_0}+3R_g}+\frac{1}{Z_2}}=\dot{Z_1}+\frac{\dot{Z_2}\left(\dot{Z_0}+3R_g\right)}{\dot{Z_0}+\dot{Z_2}+3R_g}\tag{15}$$

となります。

よって、正相電流$\dot{I_1}$は、

$$\begin{align}
\dot{I_1}&=\frac{\dot{E}}{\dot{Z}}\\
&=\frac{\dot{E}}{\dot{Z_1}+\frac{\dot{Z_2}\left(\dot{Z_0}+3R_g\right)}{\dot{Z_0}+\dot{Z_2}+3R_g}}\\
&=\frac{\dot{Z_0}+\dot{Z_2}+3R_g}{\dot{Z_0}\dot{Z_1}+\dot{Z_1}\dot{Z_2}+\dot{Z_2}\dot{Z_0}+3R_g\left(\dot{Z_1}+\dot{Z_2}\right)}\dot{E}\tag{16}
\end{align}$$

となります。

図5　2線地絡故障の対称分等価回路の色分け

水色の部分を流れる正相電流$\dot{I_1}$は、零相電流と逆相電流に分流しますが、それは赤の経路と黄色の経路のインピーダンスの逆比で分流します。

よって、符号に注意して、零相電流$\dot{I_0}$は、

$$\begin{align}
\dot{I_0}&=-\frac{\dot{Z_2}}{\dot{Z_0}+3R_g+\dot{Z_2}}\dot{I_1}\\
&=-\frac{\dot{Z_2}}{\dot{Z_0}+3R_g+\dot{Z_2}}・\frac{\dot{Z_0}+\dot{Z_2}+3R_g}{\dot{Z_0}\dot{Z_1}+\dot{Z_1}\dot{Z_2}+\dot{Z_2}\dot{Z_0}+3R_g\left(\dot{Z_1}+\dot{Z_2}\right)}\dot{E}\\
&=-\frac{\dot{Z_2}}{\dot{Z_0}\dot{Z_1}+\dot{Z_1}\dot{Z_2}+\dot{Z_2}\dot{Z_0}+3R_g\left(\dot{Z_1}+\dot{Z_2}\right)}\dot{E}\tag{17}
\end{align}$$

逆相電流は、

$$\begin{align}
\dot{I_2}&=-\frac{\dot{Z_0}+3R_g}{\dot{Z_0}+3R_g+\dot{Z_2}}\dot{I_1}\\
&=-\frac{\dot{Z_0}+3R_g}{\dot{Z_0}+3R_g+\dot{Z_2}}・\frac{\dot{Z_0}+\dot{Z_2}+3R_g}{\dot{Z_0}\dot{Z_1}+\dot{Z_1}\dot{Z_2}+\dot{Z_2}\dot{Z_0}+3R_g\left(\dot{Z_1}+\dot{Z_2}\right)}\dot{E}\\
&=-\frac{\dot{Z_0}+3R_g}{\dot{Z_0}\dot{Z_1}+\dot{Z_1}\dot{Z_2}+\dot{Z_2}\dot{Z_0}+3R_g\left(\dot{Z_1}+\dot{Z_2}\right)}\dot{E}\tag{18}
\end{align}$$

2線地絡電流の値

以上より地絡電流は、

$$\dot{I_g}=3\dot{I_0}=-\frac{3\dot{Z_2}}{\dot{Z_0}\dot{Z_1}+\dot{Z_1}\dot{Z_2}+\dot{Z_2}\dot{Z_0}+3R_g\left(\dot{Z_1}+\dot{Z_2}\right)}\dot{E}\tag{19}$$

となります。

地絡電流の大きさは、

$$\left|\dot{I_g}\right|=3\left|\frac{\dot{Z_2}}{\dot{Z_0}\dot{Z_1}+\dot{Z_1}\dot{Z_2}+\dot{Z_2}\dot{Z_0}+3R_g\left(\dot{Z_1}+\dot{Z_2}\right)}\dot{E}\right|\tag{20}$$

となります。

まとめ

ここまで、対称座標法で2線地絡故障電流を計算する方法について説明してきました。

2線地絡故障電流の計算方法について参考になれば幸いです。

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