【H30 電験2種 2次機械・制御問4】制御対象のボード線図の描画と2自由度制御系の動作解析問題

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この記事では、平成30年度電験2種 2次試験機械・制御問4の過去問解説をします。

この問題は、制御対象$C\left(s\right)$の周波数応答を検討し、ボード線図を描く問題が出題されています。

ボード線図は重ね合わせで表現できるので、順に計算していけば解ける問題にはなっていますが、一次遅れ要素があるので、この処理方法を知っていなければ解けないこともあるでしょう。

問題として2自由度制御系をテーマにしている内容ではありますが、2自由度制御系の知識そのものを問うわけではなく、小問の誘導に従って、2自由度制御系の動作を解析していく問題なっています。

そして最終的な結論として、小問（6）で、簡単な論説問題が登場します。

平成30年度電験2種 2次試験機械・制御問4 問題文

図1のような2自由度制御系がある。ここでは、$G\left(s\right)$は制御対象、$C\left(s\right)$及び$F\left(s\right)$は補償器である。また、$R\left(s\right)$は目標値、$D\left(s\right)$は外乱、$Y\left(s\right)$は制御量、$E\left(s\right)$は制御偏差である。この制御系について、次の問に答えよ。

（1）図1に示すフィードバック補償器$C\left(s\right)$の係数$K_P$および$T_1$の名称を答えよ。

（2）$K_P=10$、$T_1=0.1$のとき、$C\left(s\right)$の角周波数$\omega\left[{\rm rad/s}\right]$に対するゲイン特性の概形を答案用紙に印刷されている図2に折れ線近似で図示せよ。

（3）$R\left(s\right)=0$として、外乱$D\left(s\right)$から制御偏差$E\left(s\right)$までの閉ループ伝達関数を求めよ。

（4）上記小問（3）で求めた閉ループ伝達関数において、固有角周波数が$5{\rm rad/s}$、減衰係数が$0.7$となるように、$K_P$と$T_1$の値を定めよ。

（5）$D\left(s\right)=0$として、目標値$R\left(s\right)$から制御量$Y\left(s\right)$までの閉ループ伝達関数を$F\left(s\right)$、$C\left(s\right)$、$G\left(s\right)$を用いて求めよ。

（6）上記小問（3）で求めた閉ループ伝達関数は$F\left(s\right)$に依存しない。また、上記小問（5）で求めた閉ループ伝達関数は$C\left(s\right)$に依存しない。これは制御系にどんな特長をもたらすか答えよ。この性質を利用しているのが2自由度制御系である。

解答・解説

小問（1）比例ゲインと積分時間

$K_p$：比例ゲイン

$T_1$：積分時間

小問（2）制御対象のボード線図の描画

$K_P=10$, $T_1=0.1$を代入して、$C\left(s\right)$は、

$$\begin{align}
C\left(s\right)&=10\left(1+\frac{1}{0.1}s\right)\\
&=10\frac{0.1s+1}{0.1s}\\
&=100\frac{0.1s+1}{s}\tag{1}
\end{align}$$

周波数伝達関数とするため、$s=j\omega$で置き換えて、

$$C\left(j\omega\right)=100\frac{1+j0.1\omega}{j\omega}\tag{2}$$

ゲインは、

$$\begin{align}
20log\left|C\left(j\omega\right)\right|&=20log\left|100\frac{1+j0.1\omega}{j\omega}\right|\\
&=20log\left|100\right|+20log\left|1+j0.1\omega\right|-20log\left|j\omega\right|\\
&=40+20log\sqrt{1+0.1^2\omega^2}-20log\omega\tag{3}
\end{align}$$

となる。

ここで、ボード線図において、

$40$：定数
$20log\sqrt{1+{0.1}^2\omega^2}$：一次遅れ要素の逆数
$-20log\omega$：$-20\left[{\rm dB/dec}\right]$

の関係があるので、重ね合わせの関係で解図1のように描くことができる。

解図1

一次遅れ要素の逆数部分については、

$$20log\sqrt{1+\omega^2T^2}$$

において、

(i)$\omega T<1$の時（$\omega<10$の時）

$$\begin{align}
20log\left|\sqrt{1+\omega^2T^2}\right|&\approx20log\sqrt1\\
&=0
\end{align}$$

(ii)$\omega T>1$の時（$\omega>10$の時）

$$\begin{align}
20log\sqrt{1+\omega^2T^2}&\approx20log\sqrt{\omega^2T^2}\\
&=20log\omega T\\
&\rightarrow20\left[{\rm dB/dec}\right]
\end{align}$$

となります。

ゲイン線図を重ね合わせると、解図2になる。

解図2

小問（3）外乱から定常偏差までの閉ループ伝達関数

$D\left(s\right)$から$E\left(s\right)$までの伝達関数を求める。

$$E\left(s\right)=-\left\{\left(D\left(s\right)+K_p\left(1+\frac{1}{T_1s}\right)E\left(s\right)\right)\right\}\frac{1}{4s+1}\tag{4}$$

$$\left(4s+1\right)E\left(s\right)=-D\left(s\right)-K_P\left(1+\frac{1}{T_1s}\right)E\left(s\right)\tag{5}$$

$$\left\{\left(4s+1\right)+K_p\left(1+\frac{1}{T_1s}\right)\right\}E\left(s\right)=-D\left(s\right)\tag{6}$$

$$\begin{align}E\left(s\right)&=-\frac{1}{4s+1+K_p\left(1+\frac{1}{T_1s}\right)}D\left(s\right)\\
&=-\frac{T_1s}{4T_1s^2+T_1s+K_P\left(T_1s+1\right)}D\left(s\right)\\
&=-\frac{T_1s}{4T_1s^2+T_1\left(1+K_P\right)s+K_p}D\left(s\right)\tag{7}
\end{align}$$

$$\frac{E\left(s\right)}{D\left(s\right)}=-\frac{T_1s}{4T_1s^2+T_1\left(1+K_P\right)s+K_p}\tag{8}$$

（答）$\frac{E\left(s\right)}{D\left(s\right)}=-\frac{T_1s}{4T_1s^2+T_1\left(1+K_P\right)s+K_p}$

小問（4）固有角周波数の設定問題

伝達関数を変形すると、

$$\begin{align}
\frac{E\left(s\right)}{D\left(s\right)}&=-\frac{T_1s}{4T_1s^2+T_1\left(1+K_P\right)s+K_p}\\
&=-\frac{\frac{1}{4}s}{s^2+\frac{1}{4}\left(1+K_p\right)s+\frac{K_P}{4T_1}}\tag{9}
\end{align}$$

分母について、二次遅れ要素の基本形である、

$$s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2\tag{10}$$

と係数比較を行うと、

$$\begin{cases}
\frac{1}{4}\left(1+K_P\right)=2\xi\omega_n\\
\frac{K_P}{4T_1}=\omega_n^2
\end{cases}\tag{11}$$

である。

$\xi=0.7$、$\omega_n=5$より、

$$\begin{cases}
\frac{1}{4}\left(1+K_P\right)=2\xi\omega_n=2×0.7×5=7\\
\frac{K_P}{4T_1}=\omega_n^2=5^2=25
\end{cases}\tag{12}$$

以上より、$K_P=27$、$T_1=0.27$となる。

（答）$K_P=27$, $T_1=0.27$

小問（5）目標値から制御量までの閉ループ伝達関数

本問のポイントは、伝達関数の導出の時に、$Y\left(s\right)$の手前にある$U\left(s\right)$を求めることです。

出力$U\left(s\right)$には、大きく分けて2つの信号の流れがあります。

■1つ目

1つ目は、$R\left(s\right)$からの直接の信号の流れで、

$$\frac{F\left(s\right)}{G\left(s\right)}R\left(s\right)$$

となります。

■2つ目

2つ目はフィードバックループで、Y(s)を含む信号であり、

$$C\left(s\right)\left(F\left(s\right)R\left(s\right)-Y\left(s\right)\right)$$

となります。

これらの和が$U\left(s\right)$であり、$U\left(s\right)$に$G\left(s\right)=\frac{1}{4s+1}$をかけたものが、$Y\left(s\right)$となります。

一見ややこしいブロック線図でも、順番に信号の流れを追っていけば、そこまで難しくはありません。

$$Y\left(s\right)=G\left(s\right)\left\{\frac{F\left(s\right)}{G\left(s\right)}R\left(s\right)+C\left(s\right)\left\{F\left(s\right)R\left(s\right)-Y\left(s\right)\right\}\right\}\tag{13}$$

$$\left(1+G\left(s\right)C\left(s\right)\right)Y\left(s\right)=F\left(s\right)\left(1+G\left(s\right)C\left(s\right)\right)R\left(s\right)\tag{14}$$

$$\begin{align}
\frac{Y\left(s\right)}{R\left(s\right)}&=\frac{1+G\left(s\right)C\left(s\right)}{1+G\left(s\right)C\left(s\right)}F\left(s\right)\\
&=F\left(s\right)\tag{15}
\end{align}$$

（答）$\frac{Y\left(s\right)}{R\left(s\right)}=F\left(s\right)$