令和2年度電験2種 2次試験電力・管理問1の過去問解説（発電：水車発電機の定格回転速度の選定）

水車発電機の定格回転速度の選定の考え方に関して、次の問に答えよ。

周波数$60{\rm Hz}$の系統の地点において、有効落差$162{\rm m}$、出力$40{\rm MW}$のフランシス水車1台を設置する場合、最も適切な水車の定格回転速度$\left[{\rm min^{-1}}\right]$及び発電機の極数を求めたい。

（1）フランシス水車において、適用できる比速度と有効落差の関係が、次式によって表されるとき、次式に基づき算出される回転速度の上限値を求めよ。

$$n_s\leqq\frac{23\ 000}{H+30}+40$$

ただし、$n_s$：比速度（${\rm m・kW}$基準）、$H$：有効落差$\left[{\rm m}\right]$とする。

なお、比速度$n_s$は、出力$P\left[{\rm kW}\right]$、回転速度$N\left[{\rm min^{-1}}\right]$としたとき、

$$n_s=\frac{N×P^\frac{1}{2}}{H^\frac{5}{4}}$$

で与えられる。

（2）選定すべき定格回転速度を求めよ。また、その理由を100文字程度で述べよ。

（3）小問（2）の場合の発電機の極数を導出せよ。

解答・解説

小問（1）：フランシス水車の回転数の上限

与えられている式より、$H=162$であるから、

$$\begin{align}
n_s&≦\frac{23000}{H+30}+40\\
&=159.791666666\tag{1}
\end{align}$$

また、$P=40\left[{\rm MW}\right]$であるから、

$$\begin{align}
n_s=&\frac{N×P^{\frac{1}{2}}}{H^{\frac{5}{4}}}\\
&=\frac{N×\left(40×10^3\right)^{\frac{1}{2}}}{162^{\frac{5}{4}}}\\
&=0.34604790751N\tag{2}
\end{align}$$

以上より、

$$\begin{align}
n_s&=0.34604790751N\\
&≦159.792666666\tag{3}
\end{align}$$

$$N≦461.764579984\tag{4}$$

となる。

（答）$461\left[{\rm min^{-1}}\right]$（四捨五入して$462\left[{\rm min^{-1}}\right]$は回転速度の上限を超過するためNG）

小問（2）：選定すべき定格回転速度

同期発電機の回転数$N$は、極数$p$、系統周波数を$f\left[{\rm Hz}\right]$とすると、

$$\begin{align}
N&=\frac{120}{p}f\\
&=\frac{120}{p}×60\\
&=\frac{7200}{p}\tag{5}
\end{align}$$

となる。

小問（1）から、上限の回転数を得るための極数$p$は、

$$\begin{align}
N&=461.764579984\\
&=\frac{7200}{p}\tag{6}
\end{align}$$

$$p=15.592360939\tag{7}$$

となる。

ここで、同期発電機の構造上、極数は偶数であり、極数が多ければ式(5)に従って回転速度が遅くなる。そのため、小数点を切り上げて、

$$p=16\tag{8}$$

が適することになる。

極数について、p=16で同期速度を求めると、

$$\frac{120}{16}×60=450\left[{\rm min^{-1}}\right]\tag{9}$$

よって、定格回転速度は$450\left[{\rm min^{-1}}\right]$となる。

なお、選定理由は、

「水車および発電機の回転速度を上昇させると、同じ出力を得る場合は小型になり、スペース面でメリットとなる。一方で、回転数を上昇させすぎるとキャビテーションが発生し、振動が大きくなり発電効率が低下するほか、水車に懐食を生じてしまう。そのため、水車の回転速度は比速度の上限に対応する回転数で設計するのが望ましいため。」

（答）$450\left[{\rm min^{-1}}\right]$

試験センターの標準回答では、