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この記事では、令和2年度 電験2種 2次試験 機械・制御 問4の過去問解説をします。
電験2種の自動制御では頻出の2次遅れ要素の問題です。
問われる内容としては、
- フィードバック制御系の伝達関数
- 二次遅れ系の基本式$G\left(s\right)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi \omega_n s+\omega_n^2}$
- 定常（速度）偏差（最終値の定理）
ぐらいなので、一通り自動制御の試験対策を行えば、無理なく完答できる問題といえます。
目次
令和2年度 電験2種 2次試験 機械・制御 問4 問題文
図のようなフィードバック制御系について、次の問に答えよ。ただし、$R\left(s\right)$は目標値、$D\left(s\right)$は外乱、$U\left(s\right)$は操作量、$Y\left(s\right)$は制御量、$E\left(s\right)$は偏差とする。外乱$D\left(s\right)$の時間関数は次に示すランプ関数であり、$d\left(t\right)=\left\{\begin{matrix}2t\left(t\geqq0\right)\\0\left(t<0\right)\\\end{matrix}\right.$とする。
（1）$R\left(s\right)=0$、$C\left(s\right)=K>0$のとき、外乱$D\left(s\right)$による定常速度偏差$e_V$を求めよ。
（2）$C\left(s\right)=K>0$のとき、閉ループ系の安定性の指標の一つである減衰係数$\xi$を0.8に設定するための$K$の値を求めよ。
（3）$R\left(s\right)=0$、$C\left(s\right)=A・\frac{s+1}{0.1s+1}$ $\left(A>0\right)$の場合について、外乱$D\left(s\right)$による定常速度偏差$e_V$を求めよ。
（4）上記（3）の$C\left(s\right)$を用いた閉ループ系の減衰係数$\xi$が0.8になるような$A$の値を求めよ。
（5）上記（2）と上記（4）の場合、それぞれにおいて閉ループ系の固有角周波数$\omega_n$を求めよ。その結果、上記（2）の場合に比べて上記（4）の場合は、応答が何倍速くなるかを示せ。
（6）上記（2）と上記（4）の場合、それぞれにおいて外乱$D\left(s\right)$に対する定常速度偏差$e_V$を求めよ。その結果、上記（2）の場合に比べて上記（4）の場合は、定常速度偏差が何倍になるかを示せ。
解答・解説
小問（1）
$D\left(s\right)$から$E\left(s\right)$までの伝達関数は、
$$E\left(s\right)=-Y\left(s\right)=-\left\{ D\left(s\right)+\frac{K}{s\left(s+1\right)}E\left(s\right) \right\}$$
$$\left(1+\frac{K}{s(s+1)} \right)E\left(s\right)=-D\left(s\right)$$
$$\frac{s\left(s+1\right)+K}{s\left(s+1\right)}E\left(s\right)=-D\left(s\right)$$
$$E\left(s\right)=-\frac{s\left(s+1\right)}{s\left(s+1\right)+K}\left(s\right)$$
となる。
定常速度偏差、つまり、
$$D\left(s\right)=\frac{2}{s^2}$$
が入力された時の偏差$E\left(s\right)$は、
$$E\left(s\right)=-\frac{s\left(s+1\right)}{s\left(s+1\right)+K}\frac{2}{s^2}=-\frac{2}{s}\frac{s+1}{s\left(s+1\right)+K}$$
となる。
定常偏差は、最終値の定理より、
$$\begin{align}
e_V&=\lim_{s→0} sE\left(s\right)\\
&=\lim_{s→0} s\left(-\frac{2}{s} \frac{s+1}{s\left(s+1\right)+K}\right)\\
&=\lim_{s→0} \left(-2\frac{s+1}{s\left(s+1\right)+K}\right)\\
&=-\frac{2}{K}
\end{align}$$
（答）$e_v=-\frac{2}{K}$
小問（2）
解図1に示す通り、前向き伝達関数と一巡伝達関数を見れば、R(s)からY(s)までの伝達関数は、
$$\begin{align}
\frac{Y\left(s\right)}{R\left(s\right)}&=\frac{\frac{K}{s\left(s+1\right)}}{1+\frac{K}{s\left(s+1\right)}}\\
&=\frac{K}{s^2+s+K}
\end{align}$$
となる。
解図1
二次遅れ要素の基本形として、
$$\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi \omega_n+\omega_n^2}$$
であるので、
$$\begin{cases}
2\xi \omega_n=1\\
\omega_n^2=K
\end{cases}$$
となる。
ここで、$\xi=0.8$より、
$$2\xi \omega_n=2×0.8×\omega_n=1$$
$$\omega_n=0.625$$
よって、
$$K=\omega_n^2=0.6252=0.390625$$
となる。
（答）$K=0.391$
小問（3）
$D\left(s\right)$から$E\left(s\right)$までの伝達関数は、
$$E\left(s\right)=-Y\left(s\right)=-\left\{A・\frac{s+1}{0.1s+1}\frac{1}{s\left(s+1\right)}E\left(s\right)+D\left(s\right)\right\}$$
$$\left\{1+A・\frac{1}{s\left(0.1s+1\right)}\right\}E\left(s\right)=-D\left(s\right)$$
$$E\left(s\right)=-\frac{1}{1+A・\frac{1}{s\left(0.1s+1\right)}}D\left(s\right)=-\frac{s\left(0.1s+1\right)}{0.1s^2+s+A}D\left(s\right)$$
定常速度偏差、つまり、
$$D\left(s\right)=\frac{2}{s^2}$$
が入力された時の偏差は、
$$E\left(s\right)=-\frac{s\left(0.1s+1\right)}{0.1s^2+s+A}\frac{2}{s^2}$$
となる。
最終値の定理より、定常偏差は、
$$\begin{align}
e_V&=\lim_{s→0}sE\left(s\right)\\
&=\lim_{s→0}s\left\{-\frac{s\left(0.1s+1\right)}{0.1s^2+s+A}\frac{2}{s^2}\right\}\\
&=\lim_{s→0}-\left\{-2\frac{0.1s+1}{0.1s^2+s+A}\right\}\\
&=-\frac{2}{A}
\end{align}$$
（答）$e_v=-\frac{2}{A}$
小問（4）
小問（2）と同様に前向き伝達関数と一巡伝達関数を見れば、R(s)からY(s)までの伝達関数は、
$$\begin{align}
G\left(s\right)&=\frac{A・\frac{s+1}{0.1s+1}\frac{1}{s(s+1)}}{1+A・\frac{s+1}{0.1s+1}\frac{1}{s\left(s+1\right)}}\\
&=\frac{A}{s\left(0.1s+1\right)+A}\\
&=\frac{A}{0.1s^2+s+A}\\
&=\frac{10A}{s^2+10s+10A}
\end{align}$$
となる。
ここで、2次遅れ要素の基本形として、
$$G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}$$
であるから、係数比較して、
$$\begin{cases}
2\xi\omega_n=10\\
\omega_n2=10A
\end{cases}$$
である。
$\xi=0.8$なので、
$$2×0.8×\omega_n=10$$
$$\omega_n=6.25$$
よって、
$$10A=6.252$$
より、
$$A=3.90625$$
となる。
（答）$A=3.91$
小問（5）
固有角周波数$\omega_n$については導出済みである。
小問（2）において、$\omega_n=0.625\left[{\rm rad/s}\right]$である。
小問（4）において、$\omega_n=6.25\left[{\rm rad/s}\right]$である。
固有角周波数の比は10倍であるから、応答速度は10倍速くなる。
（答）10倍速くなる。
小問（6）
小問（2）において、
$$e_v=-\frac{2}{K}=-\frac{2}{0.390625}=-5.12$$
小問（4）において、
$$e_v=-\frac{2}{A}=-\frac{2}{3.60625}=-0.512$$
定常速度偏差は$\frac{1}{10}$倍になる。
（答）定常速度偏差は$\frac{1}{10}$倍になる。
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