令和4年度 下期 電験3種 機械 問15の過去問解説

図は、抵抗、インダクタンス、キャパシタンスで構成されたRLC回路である。次の（a）及び（b）の問に答えよ。

（a）　図において、入力電圧$\dot{V_i}$に対する出力電圧$\dot{V_o}$の伝達関数$G\left(j\omega\right)\left(=\frac{\dot{V_o}}{\dot{V_i}}\right)$を求め、正しいものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。

（1）$\frac{1}{1+\omega^2LC+j\omega CR}$　　（2）$\frac{1}{1-\omega^2LC+j\omega CR}$　　（3）$\frac{\sqrt{LC}}{1+\omega^2LC+j\omega CR}$
（4）$\frac{\sqrt{LC}}{1-\omega^2LC+j\omega CR}$　　（5）$\frac{\omega^2LC}{\omega^2LC-1-j\omega CR}$

（b）　図において、$R=1\mathrm{Ω}$、$L=0.01\mathrm{H}$、$C=100\mathrm{μF}$とした場合、（a）で求めた伝達関数を表すボード線図（ゲイン特性図）として、最も近いものを次の（1）～（5）のうちから一つ選べ。

（1）	（2）	（3）
（4）	（5）

解答・解説

正解（a）：（2）、（b）：（4）

（a）

回路方程式を立式すれば、

$$\begin{matrix}V_i\left(t\right)=Ri\left(t\right)+L\frac{di\left(t\right)}{dt}+V_o\left(t\right)&,&i\left(t\right)=C\frac{dV_o\left(t\right)}{dt}\\\end{matrix}$$

であるので、ラプラス変換すれば、

$$\begin{matrix}V_i\left(s\right)=RI\left(s\right)+sLI\left(s\right)+V_o\left(s\right)&,&I\left(s\right)=sCV_o\left(s\right)\\\end{matrix}$$

となります。

$I\left(s\right)$を消去すれば、

$$V_i\left(s\right)=sCRV_o\left(s\right)+s^2LCV_o\left(s\right)+V_o\left(s\right)$$

$$\frac{V_o\left(s\right)}{V_i\left(s\right)}=\frac{1}{s^2LC+sCR+1}$$

となります。

周波数伝達関数とするために、$s→j\omega$とすれば、

$$G\left(j\omega\right)=\frac{1}{1-\omega^2LC+j\omega C R}$$

となります。

よって、正解は（2）です。

（b）

ゲインを計算すれば、

$$\begin{align}
20log\left|G\left(j\omega\right)\right|&=20log\frac{1}{\sqrt{\left(1-\omega^2LC\right)^2+\left(\omega C R\right)^2}}\\
&=20log\frac{1}{\sqrt{\left(1-\omega^2\times{10}^{-6}\right)^2+\left(\omega\times100\times{10}^{-6}\right)^2}}
\end{align}$$

になります。

●$\omega=100$のとき

$$20log\left|G\left(j100\right)\right|=20log\frac{1}{\sqrt{\left(1-0.01\right)^2+{0.01}^2}}\fallingdotseq20log1=0\left[dB\right]$$

●$\omega=1000$のとき

$$20log\left|G\left(j1000\right)\right|=20log\frac{1}{\sqrt{\left(1-1\right)^2+\left({0.1}^2\right)}}=20\left[dB\right]$$

●$\omega=10000$のとき

$$20log\left|G\left(j10000\right)\right|=20log\frac{1}{\sqrt{\left(1-100\right)^2+1^2}}\fallingdotseq20log\frac{1}{100}=-40\left[dB\right]$$

以上より、正解は（4）です。