令和4年度 電験2種 2次試験 電力・管理 問3の過去問解説（送配電・変電 調相設備による電圧調整の計算問題）

送電線により受電する下図の負荷母線dの受電電圧$V_d$を$1.05{\rm p.u.}$に維持するために必要な調相設備（コンデンサあるいはリアクトル）のサセプタンス$Y_d$を、単位法を用いて、以下の手順で求める。それぞれの問に答えよ。なお、遅れの無効電力を正とする。

（1）負荷母線dに到達する有効電力$P$に関する数式を用いて、$sin\theta_d$の値を求めよ。

（2）負荷母線dに到達する遅れ無効電力$Q$を$cos\theta_d$の関数で表せ。

（3）上記小問（2）の解を用いて必要調相設備サセプタンス$Y_d$を$cos\theta_d$の関数で表せ。

（4）上記の各小問の解を用いて必要調相設備サセプタンス$Y_d$を求めよ。ただし、$\left|\theta_d\right|<\frac{\pi}{2}$とする。

解答・解説

標準回答には記載がありませんが、複素電力を求める式を導出しておきます。

問題設定として、送電端電圧$\dot{V_0}=1.10\angle0$、受電端電圧$\dot{V_d}=1.05\angle\theta_d$となっており、受電端側が進相になっているので符号が面倒ですが、解いていきます。

$$\dot{V_0}-\dot{V_d}=jX\dot{I}$$

$$\begin{align}
\dot{I}&=\frac{\dot{V_0}-\dot{V_d}}{jX}\\
&=\frac{V_0-V_d\left(cos\theta_d+jsin\theta_d\right)}{jX}\\
&=\frac{jV_0-V_d\left(jcos\theta_d-sin\theta_d\right)}{-X}\\
&=-\frac{V_dsin\theta_d}{X}-j\frac{V_0-V_dcos\theta_d}{X}
\end{align}$$

$$\begin{align}
\dot{S}&=\dot{V_d}\dot{I^*}\\
&=V_d\left(cos\theta_d+jsin\theta_d\right)・-\frac{V_dsin\theta_d}{X}+j\frac{V_0-V_dcos\theta_d}{X}\\
&=V_d\left(-\frac{V_d}{X}cos\theta_dsin\theta_d+j\frac{V_0cos\theta_d-V_dcos^2\theta_d}{X}\right.\\
&\left.-j\frac{V_d}{X}sin^2\theta_d-\frac{V_0sin\theta_d-V_dcos\theta_dsin\theta_d}{X}\right)\\
&=-\frac{V_0V_d}{X}sin\theta_d+j\frac{V_d\left(V_0cos\theta_d-V_d\right)}{X}
\end{align}$$

となり、

$$\begin{cases}
P=-\frac{V_0V_d}{X}sin\theta_d\\
Q=\frac{V_d\left(V_0cos\theta_d-V_d\right)}{X}
\end{cases}$$

となります。

有効電力$P$に－符号があることが気になると思いますが、先にも書きましたが、相差角$\theta_d$の定義の方向が、通常考える場合と逆になっているためです。

一般的に相差角$\theta_d$は、電力潮流が送電端→受電端なので、送電端が進相になるように定義します。

今回の問題では相差角$\theta_d$が受電端が進相になるように定義されているので、$\theta_d>0$のときの有効電力の流れは受電端→送電端になります。

そのため、送電端→受電端に送電する場合、$\theta_d<0$となるので、$sin\theta_d<0$となり、もともとのマイナス符号と打ち消しあって、$P>0$となります。

（実際、小問（1）の計算結果は$sin\theta_d<0$となっています。）

本問のベクトル図（受電端電圧が送電端電圧よりも進相の時）が下図の左の図です。

そして右の図は一般的な図（送電端電圧が受電端電圧より進相）になります。送電端電圧$\dot{V_0}$、受電端電圧$\dot{V_d}$の位相関係を見ればわかりやすいと思います。

受電端電圧が送電端電圧よりも進相の時

受電端電圧が送電端電圧より進相

小問（1）

有効電力の潮流は、問題に示されているとおり受電端電圧が進相となる向きに$\theta_d$をとると、単位法表記によって、

$$P=-\frac{V_0V_d}{X}sin\theta_d\tag{1}$$

である。

ここで、$X$は、受電端から見た電源側（本問の場合には無限大母線側）のリアクタンスである。またマイナス符号に注意する。

受電端から見た無限大母線側のリアクタンスは、送電線が2回線であることを考慮して、

$$\begin{align}
X&=\frac{0.8}{2}+0.2\\
&=0.6\left[{\rm p.u.}\right]\tag{2}
\end{align}$$

よって、式(1)に、

$$\begin{cases}
P=0.5\\
V_0=1.10\\
V_d=1.05\\
X=0.6\\
\end{cases}\tag{3}$$

を代入して、

$$0.5=-\frac{1.10×1.05}{0.6}×sin\theta_d\tag{4}$$

$$sin\theta_d=-0.25974025973\tag{5}$$

となる。

（答）$sin\theta_d=-0.260$

小問（2）

無効電力の潮流は、

$$Q=\frac{V_d\left(V_0cos\theta_d-V_d\right)}{X}\tag{6}$$

であるから、

$$\begin{align}
Q&=\frac{1.05×\left(1.10cos\theta_d-1.05\right)}{0.6}\\
&=1.925cos\theta_d-1.8375\tag{7}
\end{align}$$

となる。

（答）$Q=1.93cos\theta_d-1.84$

小問（3）

受電端電圧の無効電力は、負荷に必要な無効電力と、調相設備の無効電力の和で決まる。

ここで、調相設備はアドミタンスが進み$jY_d$で定義されているので、コンデンサ、つまり進み無効電力を基準にしていることがわかる。

そのため、調相設備を設置した後に受電端が必要とする無効電力は、遅れ無効電力を正として、

$$\begin{align}
Q&=0.2-Y_d×V_d^2\\
&=0.2-1.1025Y_d\tag{8}
\end{align}$$

よって、

$$1.925cos\theta_d-1.8375=0.2-1.1025Y_d\tag{9}$$

$$Y_d=-1.74603174603cos\theta_d+1.84807256235\tag{10}$$

となる。

（答）$Y_d=-1.75cos\theta_d+1.85$

小問（4）

小問（1）より、$sin\theta_d=-0.25974025973$であるので、

$$\begin{align}
cos\theta_d&=\sqrt{1-sin^2 \theta_d}\\
&=\sqrt{1-\left(-0.25974025973\right)^2}\\
&=0.96567851662\tag{11}
\end{align}$$

となる。

式(10)に代入すれば、

$$\begin{align}
Y_d&=-1.74603174603cos\theta_d+1.84807256235\\
&=-1.74603174603×0.96567851662+1.84807256235\\
&=0.16196721588\tag{12}
\end{align}$$

となる。

（答）$Y_d=0.162$