二次遅れ系のインパルス応答の応答波形と具体的な計算方法

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今回は、自動制御の二次遅れ系のインパルス応答について、

実数解
重解
虚数解

を持つ場合の応答波形について、場合分けをしながら説明していきます。

なお、二次遅れ系の極と応答波形のイメージを理解するには、二次遅れ系の極と応答波形の概要を参考にして下さい。

極とラプラス変換の関係から、$sin$, $cos$を含むか否かといった直感的イメージが理解できます。

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二次遅れ系のインパルス応答の要点
二次遅れ系のインパルス応答の場合分けと具体的な計算手法
まとめ

二次遅れ系のインパルス応答の要点

二次遅れ系にインパルス応答が入力されると、瞬間的に値が振れますが、のちに0位置に戻ります。

この時、極の値によって、

橙：$\xi<1$（不足減衰）
緑：$\xi=1$（臨界減衰）
赤：$\xi>1$（過減衰）

といった場合分けが可能であり、図1のような応答波形が得られます。

緑で示す$\xi=1$の時は臨界減衰で位置に最も早く戻ってきますが、$\xi$が大きくなると逆に0位置になかなか戻ってこない過減衰になり、$\xi$が小さくなると今度は0位置近傍での振動が生じる不足減衰になります。

これらの応答波形は極の値によって支配されているので、場合分けして考えていきます。

図　二次遅れ系のインパルス応答波形（不足減衰, 臨界減衰, 過減衰）

二次遅れ系のインパルス応答の場合分けと具体的な計算手法

二次遅れ系のインパルス応答を見ていきます。

インパルス応答、すなわちデルタ関数を入力した状況です。

出力は、$Y\left(s\right)$は、

$$Y\left(s\right)=G\left(s\right)X\left(s\right)\tag{1}$$

で示され、デルタ関数$x\left(t\right)=\delta\left(t\right)$のラプラス変換は$X\left(s\right)=1$であることから、そのまま伝達関数が出力され、

$$Y\left(s\right)=G\left(s\right)・1=G\left(s\right)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}\tag{2}$$

となります。

言い換えれば、伝達関数そのものを時間領域に逆ラプラス変換したものが、インパルス応答です。

分母についての部分分数分解を考えるために、分母=0、すなわち、

$$s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2=0\tag{3}$$

を解くと、解の公式より、

$$s=\frac{-2\xi\omega_n±\sqrt{4\xi^2\omega_n^2-4\omega_n^2}}{2}=\omega_n\left(-\xi±\sqrt{\xi^2-1}\right)\tag{4}$$

となります。

解の第2項である$\sqrt{\xi^2-1}$は、$\xi$の大きさによって、実数、0、虚数の3パターンがあります。

以上より、二次遅れ要素のインパルス応答では、

$\xi>1$（実数解）
$\xi=1$（重解）
$\xi<1$（虚数解）

にわけて検討を行う必要があります。

①$\xi>1$の時（実数解の時）：過減衰

実数解の時、三角関数の項を含まないので、振動しない解になります。

$$\begin{align}
Y\left(s\right)&=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}\\
&=\frac{\omega_n^2}{\left(s-\omega_n\left(-\xi+\sqrt{\xi^2-1}\right)\right)\left(s-\omega_n\left(-\xi-\sqrt{\xi^2-1}\right)\right)}\\
&=\frac{A}{s-ω_n\left(-\xi+\sqrt{\xi^2-1}\right)}+\frac{B}{s-\omega_n\left(-\xi-\sqrt{\xi^2-1}\right)}\tag{5}
\end{align}$$

$$\begin{align}
A&=\lim_{s→\omega_n\left(-\xi+\sqrt{\xi^2-1}\right)} \frac{\omega_n^2}{s-\omega_n\left(-\xi-\sqrt{\xi^2-1}\right)}\\
&=\frac{\omega_n}{2\sqrt{\xi^2-1}}\tag{6}
\end{align}$$

$$\begin{align}
B&=\lim_{s→\omega_n\left(-\xi-\sqrt{\xi^2-1}\right)} \frac{\omega_n^2}{s-\omega_n\left(-\xi+\sqrt{\xi^2-1}\right)}\\
&=-\frac{\omega_n}{2\sqrt{\xi^2-1}}\tag{7}
\end{align}$$

以上より、

$$Y\left(s\right)=\frac{\omega_n}{2\sqrt{\xi^2-1}}\left(\frac{1}{s-\omega_n\left(-\xi+\sqrt{\xi^2-1}\right)}-\frac{1}{s-\omega_n\left(-\xi-\sqrt{\xi^2-1}\right)}\right)\tag{8}$$

逆ラプラス変換すると、

$$\begin{align}
y\left(t\right)&=\frac{\omega_n}{2\sqrt{\xi^2-1}}\left(e^{\omega_n\left(-\xi+\sqrt{\xi^2-1}\right)t}-e^{\omega_n\left(-\xi-\sqrt{\xi^2-1}\right)t}\right)
\\
&=\frac{\omega_n}{2\sqrt{\xi^2-1}}e^{-\xi\omega_nt}\left(e^{\omega_n\sqrt{\xi^2-1}t}-e^{-\omega_n\sqrt{\xi^2-1}t}\right)\tag{9}
\end{align}$$

双曲線関数を用いて表現すると、

$$sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\tag{10}$$

より、

$$Y\left(t\right)=\frac{\omega_n}{\sqrt{\xi^2-1}}e^{-\xi\omega_nt}sinh\left(\omega_n\sqrt{\xi^2-1}t\right)\tag{11}$$

となります。

双曲線関数とは、普段見慣れない関数ですが、

$sinh\ t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}$
$cosh\ t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}$
$tanh\ t=\frac{sinh\ t}{cosh\ t}=\frac{e^t-e^{-t}}{e^t+e^{-t}}$

です。

読み方は、

$sinh$：ハイパボリックサイン
$cosh$：ハイパボリックコサイン
$tanh$：ハイパボリックタンジェント

です。

図1　二次遅れ要素のインパルス応答（$\xi>1$）

② $\xi=1$の時（重解の時）：臨界減衰

$\xi=1$で重解になる場合、式(4)で示されるよう$\sqrt{}$内部が$0$となるため、重解となります。

よって分母を2乗でくくることができます。

$$\begin{align}
Y\left(s\right)&=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\omega_ns+\omega_n^2}\\
&=\frac{\omega_n^2}{\left(s+\omega_n\right)^2}\tag{12}
\end{align}$$

式(12)を逆ラプラス変換すると、式(13)になります。

$$y\left(t\right)=\omega_n^2te^{-\omega_nt}\tag{13}$$

図2　二次遅れ要素のインパルス応答（$\xi=1$）

③ $\xi<1$の時（虚数解の時）：不足減衰

虚数解がある場合、解は三角関数を含みます。

そのため、振動的な応答になります。

$$\begin{align}
Y\left(s\right)&=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\xi\omega_ns+\omega_n^2}\\
&=\frac{\omega_n^2}{\left(s-\omega_n\left(-\xi+\sqrt{\xi^2-1}\right)\right)\left(s-\omega_n\left(-\xi-\sqrt{\xi^2-1}\right)\right)}\\
&=\frac{\omega_n^2}{\left(s-\omega_n\left(-\xi+j\sqrt{1-\xi^2}\right)\right)\left(s-\omega_n\left(-\xi-j\sqrt{1-\xi^2}\right)\right)}\\
&=\frac{A}{s-\omega_n\left(-\xi+j\sqrt{1-\xi^2}\right)}+\frac{B}{s-\omega_n\left(-\xi-j\sqrt{1-\xi^2}\right)}\tag{14}
\end{align}$$

$$\begin{align}
A&=\lim_{s→\omega_n\left(-\xi+j\sqrt{1-\xi^2}\right)}\frac{\omega_n^2}{s-\omega_n\left(-\xi-j\sqrt{1-\xi^2}\right)}\\
&=\frac{\omega_n}{2j\sqrt{1-\xi^2}}\tag{15}
\end{align}$$

$$\begin{align}
B&=\lim_{s→\omega_n\left(-\xi-j\sqrt{1-\xi^2}\right)}\frac{\omega_n^2}{s-\omega_n\left(-\xi+j\sqrt{1-\xi^2}\right)}\\
&=-\frac{\omega_n}{2j\sqrt{1-\xi^2}}\tag{16}
\end{align}$$

$$\begin{align}
Y\left(s\right)&=\frac{\omega_n}{2j\sqrt{1-\xi^2}}\left(\frac{1}{s-\omega_n\left(-\xi+j\sqrt{1-\xi^2}\right)}-\frac{1}{s-\omega_n\left(-\xi-j\sqrt{1-\xi^2}\right)}\right)\\
&=\frac{\omega_n}{2j\sqrt{1-\xi^2}}\left(e^{\omega_n\left(-\xi+j\sqrt{1-\xi^2}\right)}-e^{\omega_n\left(-\xi-j\sqrt{1-\xi^2}\right)}\right)\tag{17}
\end{align}$$

ここで、オイラーの公式より、

$$\begin{align}
Y\left(s\right)&=\frac{\omega_n}{2j\sqrt{1-\xi^2}}\\
&e^{-\omega_n\xi t}\left(cos\sqrt{1-\xi^2}\omega_nt+jsin\sqrt{1-\xi^2}\omega_nt-cos\sqrt{1-\xi^2}\omega_nt+jsin\sqrt{1-\xi^2}\omega_nt\right)\\
&=\frac{\omega_n}{\sqrt{1-\xi^2}}e^{-\omega_n\xi t}sin\sqrt{1-\xi^2}\omega_nt\tag{18}
\end{align}$$

となります。

オイラーの公式は、

$$e^{jt}=cost+jsint$$

です。