ブロック線図の等価変換について

みなさん、こんにちは！

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今回は、制御理論の基礎となる、伝達関数とブロック線図です。

古典制御を学ぶ上で、制御システムをブロック線図で表し、信号の流れを読み取ることは重要です。

現代制御理論にもつながってくる部分なので、確実に理解しておきましょう。

ブロック線図の等価変更の重要事項

ブロック線図は

• ブロック
• 引出し点
• 加え合わせ点

で構成され、等価変換によって簡単な表現に書き変えることができる。

加え合わせ点を要素の後に移動
加え合わせ点を要素の前に移動
引出し点を要素の後に移動
引出し点を要素の後に移動

復習：ブロック線図の基本

伝達関数は、様々な基本関数や微分・積分で示される入出力関係を、ラプラス変換によって四則演算に変換し、比率として示したものです。

また、伝達関数はブロック線図として信号の流れを図示できます。

以前、伝達関数とブロック線図については基本事項を説明しましたが、ここでもう一度復習しておきましょう。

→【以前投稿した記事】伝達関数とブロック線図の基本

掛け算・割り算を表現する「ブロック」

入力信号$x\left(t\right)$、出力信号$y\left(t\right)$をラプラス変換したものをそれぞれ$X\left(s\right)$、$Y\left(s\right)$、その伝達関数を$G\left(s\right)$とすれば、入力$X\left(s\right)$を伝達関数$G\left(s\right)$倍すれば出力$Y\left(s\right)$となるため、

$$Y\left(s\right)=G\left(s\right)X\left(s\right) \tag{1}$$

となります。

この掛け算（あるいは割り算）を表現するものがブロックであり、図1に示すような表現ができるようになります。

ブロックに入力された信号$X\left(s\right)$は、ブロックを通過すると、そのブロックの伝達関数$G\left(s\right)$され、出力$Y\left(s\right)$とまります。

まさに、式(1)そのものを表していることになります。

図2　掛け算を表現するブロック線図

なお、図3に示す通り、逆数にすれば割り算も表現できます。

図3　割り算を表現するブロック線図

以上のように、ブロック線図のブロックは掛け算や割り算を示しており、ブロックに入った信号波、$G(s)$倍されて出力されます。

足し算・引き算を表現する「加え合わせ点」と「引出し点」

ブロック線図には、図4に示すような「加え合わせ点」があり、足し算、引き算も表現できます。

引出し点では、信号が分岐します。信号が分岐して、並列に流れ、最終的に加え合わせ点で合流するような表現が多用されます。

(a)加え合わせ点（加算の場合）	(b)加え合わせ点（減算の場合）
(c)引出し点（信号分岐）

図4 伝達関数の加え合わせ点

ブロック線図の等価変換

ブロック線図は、一見ややこしい構造であっても、等価変換により簡単化することができます。
等価変換については基本となる4パターンを紹介します。

加え合わせ点を要素の後に移動する

加え合わせ点を$G_3\left(s\right)$の後ろに移動させることを考えます。

図5の赤の点線のように変換したい場合、加え合わせる前に$G_3\left(s\right)$を掛け算すれば、同じ結果を得られます。

等価変換の結果、図6のようになります。

図5　加え合わせ点を要素の後への移動（移動前）

図6　加え合わせ点を要素の後への移動（移動後）

加え合わせ点を要素の前に移動する

加え合わせ点を、$G_3\left(s\right)$の前に移動させる場合を考えます。

図7の赤の点線のように変換したい場合、加え合わせる前に$\frac{1}{G_3\left(s\right)}$を掛け算すれば、同じ結果を得られます。等価変換の結果、図8のようになります。

図7　加え合わせ点を要素の前への移動（移動前）

図8　加え合わせ点を要素の前への移動（移動後）

引出し点を要素の後に移動する

引出し点を、$G_1\left(s\right)$の後に移動させる場合を考えます。

図9の赤の点線のように変換したい場合、引き出した後に$\frac{1}{G_1\left(s\right)}$を掛け算すれば、同じ結果を得られます。

等価変換の結果、図10のようになります。

図9　引出し点を要素の後に移動（移動前）

図10　引出し点を要素の後に移動（移動後）

引出し点を要素の前に移動する

引出し点を、$G_1\left(s\right)$の前に移動させる場合を考えます。

図11の赤の点線のように変換したい場合、加え合わせる前に$G_1\left(s\right)$を掛け算すれば、同じ結果を得られます。

等価変換の結果、図12のようになります。

図11　引出し点を要素の前に移動（移動前）

図12　引出し点を要素の前に移動（移動後）

まとめ

ここまで、ブロック線図の等価変換について説明してきました。

ブロック線図は制御系の信号の流れを理解するのに重要ですし、等価変換も、より簡単なブロック線図に書き変えるために使用したりします。

また、現代制御理論でも、状態方程式の導出において、ブロック線図の等価変換に近いイメージを使います。

確実に理解しておきましょう。

伝達関数について再度確認したい方は、伝達関数とブロック線図の基本について解説した記事があるので、参考にしてください。

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• 身近なフィードバック制御の例
• フィードバック制御系の伝達関数の公式

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