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今回は、制御理論の基礎となる、伝達関数とブロック線図です。
古典制御を学ぶ上で、制御システムをブロック線図で表し、信号の流れを読み取ることは重要です。
現代制御理論にもつながってくる部分なので、確実に理解しておきましょう。
ブロック線図の等価変更の重要事項
ブロック線図は
- ブロック
- 引出し点
- 加え合わせ点
で構成され、等価変換によって簡単な表現に書き変えることができる。
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| 加え合わせ点を要素の後に移動 | |
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| 加え合わせ点を要素の前に移動 | |
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| 引出し点を要素の後に移動 | |
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| 引出し点を要素の後に移動 | |
復習：ブロック線図の基本
伝達関数は、様々な基本関数や微分・積分で示される入出力関係を、ラプラス変換によって四則演算に変換し、比率として示したものです。
また、伝達関数はブロック線図として信号の流れを図示できます。
以前、伝達関数とブロック線図については基本事項を説明しましたが、ここでもう一度復習しておきましょう。
掛け算・割り算を表現する「ブロック」
入力信号$x\left(t\right)$、出力信号$y\left(t\right)$をラプラス変換したものをそれぞれ$X\left(s\right)$、$Y\left(s\right)$、その伝達関数を$G\left(s\right)$とすれば、入力$X\left(s\right)$を伝達関数$G\left(s\right)$倍すれば出力$Y\left(s\right)$となるため、
$$Y\left(s\right)=G\left(s\right)X\left(s\right) \tag{1}$$
となります。
この掛け算（あるいは割り算）を表現するものがブロックであり、図1に示すような表現ができるようになります。
ブロックに入力された信号$X\left(s\right)$は、ブロックを通過すると、そのブロックの伝達関数$G\left(s\right)$され、出力$Y\left(s\right)$とまります。
まさに、式(1)そのものを表していることになります。
図2 掛け算を表現するブロック線図
なお、図3に示す通り、逆数にすれば割り算も表現できます。
図3 割り算を表現するブロック線図
以上のように、ブロック線図のブロックは掛け算や割り算を示しており、ブロックに入った信号波、$G(s)$倍されて出力されます。
足し算・引き算を表現する「加え合わせ点」と「引出し点」
ブロック線図には、図4に示すような「加え合わせ点」があり、足し算、引き算も表現できます。
引出し点では、信号が分岐します。信号が分岐して、並列に流れ、最終的に加え合わせ点で合流するような表現が多用されます。
 (a)加え合わせ点（加算の場合） |
 (b)加え合わせ点（減算の場合） |
 (c)引出し点（信号分岐） |
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図4 伝達関数の加え合わせ点
ブロック線図の等価変換
ブロック線図は、一見ややこしい構造であっても、等価変換により簡単化することができます。
等価変換については基本となる4パターンを紹介します。
加え合わせ点を要素の後に移動する
加え合わせ点を$G_3\left(s\right)$の後ろに移動させることを考えます。
図5の赤の点線のように変換したい場合、加え合わせる前に$G_3\left(s\right)$を掛け算すれば、同じ結果を得られます。
等価変換の結果、図6のようになります。
図5 加え合わせ点を要素の後への移動（移動前）
図6 加え合わせ点を要素の後への移動（移動後）
加え合わせ点を要素の前に移動する
加え合わせ点を、$G_3\left(s\right)$の前に移動させる場合を考えます。
図7の赤の点線のように変換したい場合、加え合わせる前に$\frac{1}{G_3\left(s\right)}$を掛け算すれば、同じ結果を得られます。等価変換の結果、図8のようになります。
図7 加え合わせ点を要素の前への移動（移動前）
図8 加え合わせ点を要素の前への移動（移動後）
引出し点を要素の後に移動する
引出し点を、$G_1\left(s\right)$の後に移動させる場合を考えます。
図9の赤の点線のように変換したい場合、引き出した後に$\frac{1}{G_1\left(s\right)}$を掛け算すれば、同じ結果を得られます。
等価変換の結果、図10のようになります。
図9 引出し点を要素の後に移動（移動前）
図10 引出し点を要素の後に移動（移動後）
引出し点を要素の前に移動する
引出し点を、$G_1\left(s\right)$の前に移動させる場合を考えます。
図11の赤の点線のように変換したい場合、加え合わせる前に$G_1\left(s\right)$を掛け算すれば、同じ結果を得られます。
等価変換の結果、図12のようになります。
図11 引出し点を要素の前に移動（移動前）
図12 引出し点を要素の前に移動（移動後）
まとめ
ここまで、ブロック線図の等価変換について説明してきました。
ブロック線図は制御系の信号の流れを理解するのに重要ですし、等価変換も、より簡単なブロック線図に書き変えるために使用したりします。
また、現代制御理論でも、状態方程式の導出において、ブロック線図の等価変換に近いイメージを使います。
確実に理解しておきましょう。
伝達関数について再度確認したい方は、伝達関数とブロック線図の基本について解説した記事があるので、参考にしてください。
その他、制御の本質であるフィードバック制御系について、
- 身近なフィードバック制御の例
- フィードバック制御系の伝達関数の公式
を解説した、フィードバック制御系の解説記事もよく読まれています。
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