同期発電機のベクトル図からの特性計算【無負荷誘導起電力と内部相差角（負荷角）】

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今回は、同期発電機のベクトル図から、

• 同期発電機の無負荷誘導起電力
• 同期発電機の内部相差角（負荷角）

について導出を行います。

同期発電機の無負荷誘導起電力と内部相差角（負荷角）の公式

無負荷誘導起電力$E_0$と内部相差角（負荷角）$\delta$は同時に導出できるので関連付けて理解しておきましょう。

無負荷誘導起電力の公式

同期発電機の無負荷誘導起電力は、

$$E_0=\sqrt{V^2+{Z_0}^2I^2+2VI(r_acos\theta+x_ssin\theta)} \tag{1}$$

となります。

ただし、

• $V$：端子電圧
• $I$：電流
• $Z_0=\sqrt{r_a^2+x^2}$：同期インピーダンス
• $r_a$：電機子抵抗
• $x_s$：同期リアクタンス

となります。

無負荷誘導起電力は、同期発電機の巻線部分に発生している起電力のことであり、無負荷端子電圧と同じです。

内部相差角（負荷角）の公式

同期発電機の内部相差角（負荷角）は、

$$\delta=tan^{-1} \left(\frac{x_sIcos\theta-r_aIsin\theta}{V+r_aIcos\theta+x_sIsin\theta}\right) \tag{2}$$

となります。

ただし、

• $V$：端子電圧
• $I$：負荷電流
• $r_a$：電機子抵抗
• $x_s$：同期リアクタンス
• $\theta$：力率角

となります。

内部相差角（負荷角）は、無負荷誘導起電力$\dot{E_0}$と端子電圧$\dot{V}$の位相差のことです。

一般的な位相の相対関係として、

端子電圧$\dot{V}$は無負荷誘導起電力$\dot{E_0}$に対して遅れ位相

逆に言えば、

無負荷誘導起電力（負荷角）\dot{E_0}は端子電圧$\dot{V}$に対して進み位相

になります。

同期発電機の無負荷誘導起電力の導出

では、同期発電機の無負荷誘導起電力の式を導出します。

同期発電機の回路図とベクトル図

図1に、同期発電機の回路図を示します。

図1 同期発電機の等価回路

同期発電機の等価回路に従って、同期発電機のベクトル図を描くと、図2のようになります。

図2 同期発電機のベクトル図

実軸成分の計算

まずは、実軸成分について考えましょう。

図3 同期発電機のベクトル図（実軸の計算）

図3に示すベクトル図より、実軸成分の式は、

$$V+r_aIcos\theta+x_sIsin\theta=E_0cos\delta \tag{3}$$

となります。

両辺を2乗して、右辺と左辺を入れ替えておきます。

$$(E_0cos\delta)^2=(V+r_aIcos\theta+x_sIsin\theta)^2 \tag{4}$$

虚軸成分の計算

次に、虚軸成分を見ていきます。

図4 同期発電機のベクトル図（虚軸の計算）

図4に示すベクトル図より、虚軸成分は、

$$x_sIcos\theta-r_aIsin\theta=E_0sin\delta \tag{5}$$

となります。

実軸と同様に、両辺を2乗して、右辺と左辺を入れ替えておきます。

$$(E_0sin\delta)^2=(x_sIcos\theta-r_aIsin\theta)^2 \tag{6}$$

同期発電機の無負荷誘導起電力

これで、式(4)と式(6)から、

実軸：$(E_0cos\delta)^2=(V+r_aIcos\theta+x_sIsin\theta)^2$

虚軸：$(E_0sin\delta)^2=(x_sIcos\theta-r_aIsin\theta)^2$

となりました。

和を計算すると、

$$(E_0cos\delta)^2+(E_0son\delta)^2=(V+r_aIcos\theta+x_sIsin\theta)^2+(x_sIcos\theta-r_aIsin\theta)^2 \tag{7}$$

$cos^2\delta+sin^2\delta=1$より、式(7)の左辺は$E_0^2$になるので、

$$\begin{align}
{E_0}^2 &=(V+r_aIcos\theta+x_sIsin\theta)^2+(x_sIcos\theta-r_aIsin\theta)^2 \\
&=V^2+{r_a}^2I^2cos^2\theta+{x_s}^2I^2sin^2\theta+2Vr_aIcos\theta+2r_ax_sI^2sin\theta cos\theta+2Vx_sIsin\theta\\
&+{x_s}^2I^2cos^2\theta-2r_ax_sI^2sin\theta cos\theta+{r_a}^2I^2sin^2\theta\\
&=V^2+{r_a}^2I^2+{x_s}^2I^2+2Vr_aIcos\theta+2Vx_sIsin\theta \tag{8}
\end{align}$$

${Z_0}^2={r_a}^2+{x_s}^2$より、

$$\begin{align}
{E_0}^2&=V^2+{Z_0}^2I^2+2Vr_aIcos\theta+2Vx_sIsin\theta\\
&=V^2+{Z_0}^2I^2+2VI(r_acos\theta+x_ssin\theta) \tag{9}
\end{align}$$

$$E_0=\sqrt{V^2+{Z_0}^2I^2+2VI(r_acos\theta+x_ssin\theta)} \tag{10}$$

となります。

これが、同期発電機の無負荷誘導起電力になります。

無負荷の際には電機子電流が流れず、同期インピーダンス$\dot{Z_s}$による電圧降下もないです。

そのため、無負荷誘導起電力は、同期発電機を無負荷にしたとき、出力端子に現れる電圧に等しいです。

内部相差角（負荷角）の導出

途中、式(3)及び式(5)までは無負荷誘導起電力$E_0$の導出と同じです。

実軸に関する式(3)より、

$$cos\delta=\frac{V+r_aIcos\theta+x_sIsin\theta}{E_0} \tag{11}$$

であり、虚軸に関する式(5)より、

$$sin\delta=\frac{x_sIcos\theta-r_aIsin\theta}{E_0} \tag{12}$$

となります。

ここで、$tan\delta=\frac{sin\delta}{cos\delta}$より、

$$tan\delta=\frac{\frac{x_sIcos\theta-r_aIsin\theta}{E_0}}{\frac{V+r_aIcos\theta+x_sIsin\theta}{E_0}} \tag{13}$$

すなわち、$E_0$が約分できて、

$$tan\delta=\frac{x_sIcos\theta-r_aIsin\theta}{V+r_aIcos\theta+x_sIsin\theta} \tag{14}$$

となります。

内部相差角（負荷角）$\delta$は、

$$\delta=tan^{-1} \left(\frac{x_sIcos\theta-r_aIsin\theta}{V+r_aIcos\theta+x_sIsin\theta}\right) \tag{15}$$

となります。

まとめ

以上で、

■同期発電機の無負荷誘導起電力

$$E_0=\sqrt{V^2+{Z_0}^2I^2+2VI(r_acos\theta+x_ssin\theta)}$$

■同期発電機の内部相差角（負荷角）

$$\delta=tan^{-1} \left(\frac{x_sIcos\theta-r_aIsin\theta}{V+r_aIcos\theta+x_sIsin\theta}\right)$$

の導出ができました。

同期発電機のベクトル図が分かれば、実軸と虚軸の計算をするだけで求められるので、導出も含めてマスターしておきましょう。

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