三相誘導電動機の最大トルクの導出

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今回は、誘導電動機の特性計算として、三相誘導電動機の最大トルクの導出を行います。

数式ばかりですが、大事な部分なのでご自身でも計算をして答え合わせをしてみてください。

これらの元々の特性式の導出は、

の記事をご覧ください。

概要：三相誘導電動機の最大トルクの計算公式

三相誘導電動機の最大トルクの導出過程はややこしいですが、計算結果そのものは、下に示すように比較的シンプルな式になります。

■最大トルクを発生する滑り

$$s=\frac{r_2´}{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}}$$

■誘導電動機の最大トルク

$$T_{max}=\frac{3V_1^2}{2\omega_0\{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}+r_1\}}$$

三相誘導電動機の最大トルクの導出

誘導電動機の最大トルクについて導出します。

すべりの導出

誘導電動機のトルクである、

$$\begin{align}
T&=3\frac{1}{\omega_0}\frac{V_1^2}{(x_1+x_2´)^2+(r_1+\frac{1}{s}r_2´)^2}\frac{1}{s}r_2´\\
&=3\frac{r_2´V_1^2}{\omega_0}\frac{s}{s^2(x_1+x_2´)^2+(sr_1+r_2´)^2}\tag{1}
\end{align}$$

において、

$$\frac{dT}{ds}=0\tag{2}$$

の時の$s$が最大トルクの滑りになります。

定数部分を省いて、

$$y=\frac{s}{s^2(x_1+x_2´)^2+(sr_1+r_2´)^2}\tag{3}$$

$$\frac{dy}{ds}=\frac{(sr_1+r_2´)^2+s^2(x_1+x_2´)^2-s\{2s(r_1+r_2´)r_1+2s(x_1+x_2´)^2\}}{\{(sr_1+r_2´)^2+s^2(x_1+x_2´)^2\}^2}=0\tag{4}$$

分母を払って、

$$(sr_1+r_2´)^2+s^2(x_1+x_2´)^2-s\{2(sr_1+r_2´)r_1+2s(x_1+x_2´)^2\}=0\tag{5}$$

$$(sr_1+r_2´)^2+s^2(x_1+x_2´)^2-2s(sr_1+r_2´)r_1-2s^2(x_1+x_2´)^2=0\tag{6}$$

$$(sr_1+r_2´)^2-2r_1s(sr_1+r_2´)-s^2(x_1+x_2´)^2=0\tag{7}$$

$$s^2r_1^2+s^2(x_1+x_2´)^2=r_2´^2\tag{8}$$

$$s^2=\frac{r_2´^2}{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}\tag{9}$$

$$s=\frac{r_2´}{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}}\tag{10}$$

となります。

これが、誘導電動機において最大トルクを発生するすべりです。

最大トルク

$$T=3\frac{r_2´V_1^2}{\omega_0}\frac{s}{s^2(x_1+x_2´)^2+(sr_1+r_2´)^2}\tag{11}$$

$$s=\frac{r_2´}{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}}\tag{12}$$

より、

$$T_{max}=3\frac{r_2´V_1^2}{\omega_0}\frac{\frac{r_2´}{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}}}{\frac{r_2´^2}{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}(x_1+x_2´)^2+(\frac{r_2´}{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}}r_1+r_2´)^2}\tag{13}$$

$$=\frac{3r_2´^2\sqrt{r_1´^2+(x_1+x_2)^2}V_1^2}{\omega_0\{(r_1r_2´+r_2´\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2})^2+r_2´^2(x_1+x_2´)^2\}}\tag{14}$$

$$=\frac{3\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}V_1^2}{\omega_0\{(r_1+\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2})^2+(x_1+x_2´)^2\}}\tag{15}$$

$$=\frac{3\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}V_1^2}{\omega_0\{r_1^2+2r_1\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}+r_1^2+(x_1+x_2´)^2+(x_1+x_2´)^2\}}\tag{16}$$

$$=\frac{3\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}V_1^2}{\omega_0\{2(r_1^2+(x_1+x_2´)^2)+2r_1\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}\}}\tag{17}$$

よって、

$$T_{max}=\frac{3V_1^2}{2\omega_0\{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}+r_1\}}\tag{18}$$

となります。

これが、誘導電動機の最大トルクです。