三相誘導電動機の最大トルクの導出

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今回は、誘導電動機の特性計算として、三相誘導電動機の最大トルクの導出を行います。

数式ばかりですが、大事な部分なのでご自身でも計算をして答え合わせをしてみてください。

これらの元々の特性式の導出は、

の記事をご覧ください。

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三相誘導電動機の最大トルクの導出

誘導電動機の最大トルクについて計算します。

すべりの導出

誘導電動機のトルクである、

$$T=3\frac{1}{\omega_0}\frac{V_1^2}{(x_1+x_2´)^2+(r_1+\frac{1}{s}r_2´)^2}\frac{1}{s}r_2´$$

$$=3\frac{r_2´V_1^2}{\omega_0}\frac{s}{s^2(x_1+x_2´)^2+(sr_1+r_2´)^2}$$

において、

$$\frac{dT}{ds}=0$$

の時の$s$が最大トルクの滑りになります。

定数部分を省いて、

$$y=\frac{s}{s^2(x_1+x_2´)^2+(sr_1+r_2´)^2}$$

$$\frac{dy}{ds}=\frac{(sr_1+r_2´)^2+s^2(x_1+x_2´)^2-s\{2(sr_1+r_2´)r_1+2s(x_1+x_2´)\}}{\{(sr_1+r_2´)^2+s^2(x_1+x_2´)^2\}^2}=0$$

分母を払って、

$$(sr_1+r_2´)^2+s^2(x_1+x_2´)^2-s\{2(sr_1+r_2´)r_1+2s(x_1+x_2´)^2\}=0$$

$$(sr_1+r_2´)^2+s^2(x_1+x_2´)^2-2s(sr_1+r_2´)r_1-2s^2(x_1+x_2´)^2=0$$

$$(sr_1+r_2´)^2-2r_1s(ssr_1+r_2´)-s^2(x_1+x_2´)=0$$

$$s^2r_1^2+s^2(x_1+x_2´)^2=r_2´^2$$

$$s^2=\frac{r_2´^2}{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}$$

$$s=\frac{r_2´}{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}}$$

となります。

これが、誘導電動機において最大トルクを発生するすべりです。

最大トルク

$$T=3\frac{r_2´V_1^2}{\omega_0}\frac{s}{s^2(x_1+x_2´)^2+(sr_1+r_2´)^2}$$

$$s=\frac{r_2´}{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}}$$

より、

$$T_{max}=3\frac{r_2´V_1^2}{\omega_0}\frac{\frac{r_2´}{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}}}{\frac{r_2´^2}{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}(x_1+x_2´)^2+(\frac{r_2´}{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}}r_1+r_2´)^2}$$

$$=\frac{3r_2´^2\sqrt{r_1´^2+(x_1+x_2)^2}V_1^2}{\omega_0\{(r_1r_2´+r_2´\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2)^2}+r_2´^2(x_1+x_2´)^2\}}$$

$$=\frac{3\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}V_1^2}{\omega_0\{(r_1+\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´^2})^2+(x_1+x_2´)^2\}}$$

$$=\frac{3\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}V_1^2}{\omega_0\{r_1^2+2r_1\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}+r_1^2+(x_1+x_2´)^2+(x_1+x_2´)^2\}}$$

$$=\frac{3\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}V_1^2}{\omega_0\{2(r_1^2+(x_1+x_2´)^2)+2r_1\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}\}}$$

よって、

$$T_{max}=\frac{3V_1^2}{2\omega_0\{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}+r_1\}}$$

となります。

これが、誘導電動機の最大トルクです。

まとめ

ここまで、誘導電動機の最大トルクの計算について紹介してきました。

かなりややこしい計算ですが、導出できるようにしておきましょう。

基本的には、$\frac{dT}{ds}=0$だけで、計算がややこしいだけです。

最高出力の導出方法も確認しておくことをお勧めします。

三相誘導電動機の最高出力の導出

以上、誘導電動機の最大トルクの計算について、参考になれば幸いです。

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