みなさん、こんにちは!
ブリュの公式ブログ.org(for Academic Style)にお越しいただきまして、ありがとうございます!
今回は、誘導電動機の特性計算として、三相誘導電動機の最大トルクの導出を行います。
数式ばかりですが、大事な部分なのでご自身でも計算をして答え合わせをしてみてください。
目次
三相誘導電動機の最大トルクの導出
誘導電動機の最大トルクについて計算します。
すべりの導出
誘導電動機のトルクである、
$$T=3\frac{1}{\omega_0}\frac{V_1^2}{(x_1+x_2´)^2+(r_1+\frac{1}{s}r_2´)^2}\frac{1}{s}r_2´$$
$$=3\frac{r_2´V_1^2}{\omega_0}\frac{s}{s^2(x_1+x_2´)^2+(sr_1+r_2´)^2}$$
において、
$$\frac{dT}{ds}=0$$
の時の$s$が最大トルクの滑りになります。
定数部分を省いて、
$$y=\frac{s}{s^2(x_1+x_2´)^2+(sr_1+r_2´)^2}$$
$$\frac{dy}{ds}=\frac{(sr_1+r_2´)^2+s^2(x_1+x_2´)^2-s\{2(sr_1+r_2´)r_1+2s(x_1+x_2´)\}}{\{(sr_1+r_2´)^2+s^2(x_1+x_2´)^2\}^2}=0$$
分母を払って、
$$(sr_1+r_2´)^2+s^2(x_1+x_2´)^2-s\{2(sr_1+r_2´)r_1+2s(x_1+x_2´)^2\}=0$$
$$(sr_1+r_2´)^2+s^2(x_1+x_2´)^2-2s(sr_1+r_2´)r_1-2s^2(x_1+x_2´)^2=0$$
$$(sr_1+r_2´)^2-2r_1s(ssr_1+r_2´)-s^2(x_1+x_2´)=0$$
$$s^2r_1^2+s^2(x_1+x_2´)^2=r_2´^2$$
$$s^2=\frac{r_2´^2}{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}$$
$$s=\frac{r_2´}{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}}$$
となります。
これが、誘導電動機において最大トルクを発生するすべりです。
最大トルク
$$T=3\frac{r_2´V_1^2}{\omega_0}\frac{s}{s^2(x_1+x_2´)^2+(sr_1+r_2´)^2}$$
$$s=\frac{r_2´}{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}}$$
より、
$$T_{max}=3\frac{r_2´V_1^2}{\omega_0}\frac{\frac{r_2´}{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}}}{\frac{r_2´^2}{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}(x_1+x_2´)^2+(\frac{r_2´}{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}}r_1+r_2´)^2}$$
$$=\frac{3r_2´^2\sqrt{r_1´^2+(x_1+x_2)^2}V_1^2}{\omega_0\{(r_1r_2´+r_2´\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2)^2}+r_2´^2(x_1+x_2´)^2\}}$$
$$=\frac{3\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}V_1^2}{\omega_0\{(r_1+\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´^2})^2+(x_1+x_2´)^2\}}$$
$$=\frac{3\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}V_1^2}{\omega_0\{r_1^2+2r_1\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}+r_1^2+(x_1+x_2´)^2+(x_1+x_2´)^2\}}$$
$$=\frac{3\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}V_1^2}{\omega_0\{2(r_1^2+(x_1+x_2´)^2)+2r_1\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}\}}$$
よって、
$$T_{max}=\frac{3V_1^2}{2\omega_0\{\sqrt{r_1^2+(x_1+x_2´)^2}+r_1\}}$$
となります。
これが、誘導電動機の最大トルクです。
まとめ
ここまで、誘導電動機の最大トルクの計算について紹介してきました。
かなりややこしい計算ですが、導出できるようにしておきましょう。
基本的には、$\frac{dT}{ds}=0$だけで、計算がややこしいだけです。
最高出力の導出方法も確認しておくことをお勧めします。
以上、誘導電動機の最大トルクの計算について、参考になれば幸いです。
関連する本
ブリュの公式ブログでは本を出版しています。
本記事で紹介した、「三相誘導電動機の最大トルク」については、以下の書籍に記載しています。
著者:ブリュの公式ブログ
出版:BOOKs Project
・電験2種 2次試験 機械・制御対策の決定版
・カラー印刷
・Amazonのみで販売中!