変圧器の並列運転について

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今回は変圧器の並列運転についてです。

変圧器の並列運転は、

  • 負荷電流の分担
  • 循環電流

がポイントになります。

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変圧器の負荷電流分担の計算方法の導出

負荷電流分担の基本的な式

前提条件として、

  • 一次印加電圧:$V_1$[V]
  • 2次側巻数:$N_A$, $N_B$
  • 変圧器のインピーダンス:$Z_A$, $Z_B$

とします。

一次側の励磁回路を無視すると、変圧器の並列運転の等価回路は、以下の図になります。

これをもう少し見やすくします。

具体的には、1次入力電圧を交流電圧源に置き換えます。

これで負荷電流の分担が計算できます。

2次側電圧を$V$で共通とすると、オームの法則より

$$\frac{1}{n}\dot{V_1}-\dot{V}=\dot{Z_A}\dot{I_A}$$

$$\frac{1}{n}\dot{V_1}-\dot{V}=\dot{Z_B}\dot{I_B}$$

これより、

$$\dot{I_B}=\frac{\dot{Z_A}}{\dot{Z_B}}\dot{I_A}$$

となります。

またキルヒホッフの第1法則より、

$$\dot{I}=\dot{I_A}+\dot{I_B}$$

より、

$$\dot{I}=\dot{I_A}+\frac{\dot{Z_A}}{\dot{Z_B}}\dot{I_A}$$

より、

$$\dot{I_A}=\frac{\dot{Z_B}}{\dot{Z_A}+\dot{Z_B}}\dot{I}$$

$$\dot{I_B}=\frac{\dot{Z_A}}{\dot{Z_A}+\dot{Z_B}}\dot{I}$$

となります。

これが、変圧器の負荷分担において基本となる式です。

循環電流を考慮する場合

では、巻数比の異なる2つの変圧器が並列接続された場合を考えます。

起電力がことなる電源が2つつながることになるので、当然循環電流が流れます。

循環電流の経路は、下の回路図に示すとおりになります。

さて、これで循環電流が計算できます。

循環電流を$\dot{I_{roop}}$とおき、赤の矢印の電流経路を正にすると、オームの法則(キルヒホッフの第2法則と考えたほうが正確かも)から、

$$\frac{1}{n_1}\dot{V_1}=(\dot{Z_A}+\dot{Z_B})I_{roop}+\frac{1}{n_2}\dot{V_1}$$

となります。

これより、循環電流$I_{roop}$は、

$$\dot{I_{roop}}=\frac{\frac{1}{n_1}-\frac{1}{n_2}}{\dot{Z_A}+\dot{Z_B}}\dot{V_1}$$

となります。

さて、負荷電流の電流経路と合わせると、電流経路は下の回路図のようになります。

つまり、変圧器Aは負荷電流+循環電流、変圧器Bは負荷電流-循環電流となるので、

$$変圧器Aの負担=\dot{I_A}+\dot{I_{roop}}=\frac{\dot{Z_B}}{\dot{Z_A}+\dot{Z_B}}\dot{I}+\frac{\frac{1}{n_1}-\frac{1}{n_2}}{\dot{Z_A}+\dot{Z_B}}\dot{V_1}$$

$$変圧器Bの負担=\dot{I_A}-\dot{I_{roop}}=\frac{\dot{Z_A}}{\dot{Z_A}+\dot{Z_B}}\dot{I}-\frac{\frac{1}{n_1}-\frac{1}{n_2}}{\dot{Z_A}+\dot{Z_B}}\dot{V_1}$$

となります。

まとめ

ここまで、変圧器の並列運転について説明してきました。

一見ややこしそうに見える変圧器ですが、交流の起電力として考えてしまえば、あとは普通の交流回路の計算にまで落とし込めます。

循環電流についても、巻数比の違いからくる起電力の違いを考えれば、自然に導出ができるでしょう。

以上、変圧器の並列運転について、参考になれば幸いです。

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