東大生のわかりやすい物理学講座:運動方程式とテストではまりやすい問題の解答

東大生のわかりやすい物理学講座:運動方程式とテストではまりやすい問題の解答

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今回は、物理学における最重要方程式の、運動方程式について解説します。

その上で、運動方程式を使う上ではまりやすい問題の解答も行います!

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運動方程式とは

運動方程式は有名な式です。

$$m\mathbf{a}=\mathbf{F}$$

ここで、$m$は物体の質量、$\mathbf{a}$は加速度、$\mathbf{F}$は物体に直接作用した力です。

加えた力を質量で割ったら加速度になると覚えておいてください。

あと、厳密には加速度と力はベクトル量になります。

加えた力と同じ方向に加速度が生じるという意味です。

ちなみに、この式の導出はできません。

むかし、ニュートンさんが実験を繰り返して導いた式であり、自然界を支配している方程式の一つであると思ってください。

加速度と微分・積分

加速度は、速度を微分したものです。

速度は位置を微分したものです。

微分とは、関数の微小な傾きのことです。

ある関数$f(t)$があります。

この関数の微分は、微小時間$\delta t$を用いて、次の式で表すことができます。

$$\frac{df(t)}{dt}=\frac{f(t+\delta t)-f(t)}{\delta t}$$

このように、微小時間$\delta t$の間の関数の傾きです。

平均速度を出すときに、距離を時間で割りますね。

この分母に来る時間を微小時間に変えたものが微分です。

積分は、微分の逆演算ですから、逆に傾きから関数を呼び出すもの。

正確には、関数が描く面積を積算したものです。

つまり、位置を基準とすると、次のように書くことができます。

速度:微小時間における位置の微小変化

加速度:微小時間における速度の微小変化

逆に、加速度を基準にすると、次のように書くことができます。

速度:加速度の積み重ねで持っている速度

位置:速度の積み重ねで走ってきた距離

どうでしょうか。

微分と積分、加速度と速度と位置のイメージが理解できたかと思います。

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運動方程式の例題

では、運動方程式の例題を解いていきましょう。

質量m[kg]の質点があり、後ろから力Fで押した。

加速度とt秒後の質点の速度、移動距離を求めよ。

ただし、初速度は0とする。

この問題は、運動方程式より、

$$ma=F$$

したがって、加速度は、

$$a=\frac{F}{m}$$

となります。

t秒後の速度は、

$$v=\int^t_0 a dt = \int^t_0 \frac{F}{m}dt=\frac{F}{m}t$$

t秒後の位置は、

$$x=\int^t_0 vdt=\int^t_0 \frac{F}{m}tdt=\frac{F}{2m}t^2$$

となります。

運動方程式のテストではまりやすい問題

運動方程式のはまりやすい問題として次の問題を考えていきます。

先ほど解いた例題の物体(m[kg])が、$m_1[kg]$と$m_2[kg]$、$m_1+m_2=m$に分かれていたらどうなるでしょう?

問題文としては以下のようになるでしょう。

それぞれの質量が$m_1[kg]$、$m_2 [kg]$の、2つの物体AとBが、摩擦のない滑らかな平面上に並んでいる。

図のように物体Aに力Fを加えた。

加速度とt秒後の速度および位置を求めよ。

ただし、$m_1+m_2=m$とする。

ここで大事な直感として、全体の質量は$m$[kg]で共通なので、先の例題と同じ答えにならないとおかしいということです。

まず、物体に働く力を図に書いてみます。

ここで注意です。

押す力は物体Aに加わりますが、物体Bには加わりません。

なぜか?

運動方程式では、直接作用した力だけを考えるからです。

押す力は直接的には物体Aしか押していません。

その結果、物体Aが物体Bを押しています。

つまり、回答は次のようになります。

まず大前提として、2つの物体の加速度は同じなので$a$とします。

物体Aの運動方程式は、

$$m_1 a=F-T$$

物体Bの運動方程式は、

$$m_2 a = T$$

ここでTを削除すると、

$$m_1 a = F-m_2 a$$

$$a=\frac{F}{m_1+m_2}=\frac{F}{m}$$

となり、正解となります。

一つ目の例題と同じ結果が得られました。

絶対に下の図のような考え方をしてはいけません!

運動方程式のまとめ

ここまで運動方程式について解説してきました。

実践的な例題も含めて解説したので、理解しやすかったのではと思います。

運動方程式でポイントとなるのが、運動方程式は$ma=F$であること。

もう一つは、物体に直接作用している力のみを考えることです。

高校物理の範囲では、非接触で働く力は重力と電磁力ぐらいです。

したがって、重力と電磁力を除いては、直接触れていないものは、運動方程式の力を考えるにあたって考えなくていいです。

以上、運動方程式について、参考になれば幸いです。

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