変圧器の効率と最大効率および全日効率について

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今回は、変圧器の効率と最大効率、および全日効率の計算方法について説明します。

実測効率と規約効率

変圧器には、実測効率と規約効率という2つの効率があります。

$$実測効率=\frac{出力}{入力}$$

$$規約効率=\frac{出力}{出力+損失}$$

実測効率は、文字通り実際に入出力を測定して計算する効率です。

規約効率は、計算上で求められる効率になります。

電気主任技術者試験をはじめとするテスト問題では、入出力の測定なんてできませんから、当然規約効率を計算することになります。

以後、このページでは、規約効率の計算方法について説明を行います。

変圧器における可変損（銅損）と不変損（鉄損）

変圧器の損失には、鉄損と銅損があります。

可変損（銅損）

可変損とは、負荷が変化したときに一緒に変化する損失のことです。

例えば、負荷が変動すると、負荷電流が変化しますが、銅線の発熱量（損失＝銅損）は負荷電流とともに変化します。

つまり、銅損のように負荷の変化とともに変化する損失を、可変損と呼びます。

変圧器の1次側に換算したL型等価回路で見てみましょう。

負荷電流は赤の線で描いたループ電流になるいます。

この負荷電流が変化すると、

• 1次巻線：$r_1$
• 2次巻線：$n^2r_2$

による損失が生じます。

これが、可変損です。

不変損（鉄損）

変圧器の励磁電流など、負荷の有無にかかわらず発生する損失を、不変損といいます。

L型等価回路で見ると、励磁回路を流れる水色の電流ループが不変損（鉄損）になります。

負荷電流が変化しても、鉄損は変化しないので、負荷によらず一定の損失であることは、回路上からも明らかでしょう。

変圧器の効率の計算と最大効率の導出

変圧器の効率計算

変圧器の効率は、次の式で計算ができます。

$$\$eta=\frac{Wcos\theta}{Wcos\theta+P_i+P_{cn}}$$

ここで、

• $W$：出力
• $cos\theta$：負荷力率
• $P_i$：不変損（鉄損）
• $P_{cn}$：全負荷時の可変損（銅損）

となります。

日本語で書き換えると、

$$効率=\frac{出力中の有効電力}{出力中の有効電力+鉄損+全負荷時の銅損}$$

となります。

出力は皮相電力ではなく、有効電力のみであることに注意してください。

最大効率と可変損, 不変損の関係

変圧器において、

• 出力：$VIcon\theta$
• 可変損：負荷電流の2乗に比例（$RI^2$）
• 不変損：一定（$W$）

とします。

このとき、変圧器の効率$\eta$は、

$$\eta=\frac{VIcos\theta}{VIcos\theta+W+RI^2}$$

となります。

これを、分母分子を$I$で割ると、

$$\eta=\frac{Vcos\theta}{Vcos\theta+\frac{W}{I}+RI}$$

となります。

ここで、効率を最大にするのであれば、$\frac{W}{I}+RI$が最小になればOKです。

つまり、微分=0のタイミングで最大効率になるので、

$$y=\frac{W}{I}+RI$$

$$\frac{dy}{dI}=-\frac{W}{I^2}+R=0$$

つまり、$W=RI^2$の時に最大効率になります。

• 可変損：負荷電流の2乗に比例（$RI^2$）
• 不変損：一定（$W$）

ですから、可変損と不変損が等しくなった時に、最大効率になります。

変圧器の全日効率

変圧器の全日効率は、電力量に変換することで計算できます。

なお、鉄損については、変圧器の動作中は負荷に依らず一定に損失が発生するので、24時間を乗じています。

全日効率は例題を見たほうがわかりやすいので、例題を1問あげておきます。

全日効率の例題です。

定格出力50kVA、鉄損500W、全負荷銅損800Wの変圧器を、力率80%で1日のうち10時間だけ50%負荷で稼働させたときの全日効率は何%か？

1日の電力量$P$は、

• 定格容量50kVA
• 力率80%
• 50%負荷
• 10時間運転

より、

$$P=50×0.8×0.5×10=200kWh$$

銅損$P_c$は、全負荷銅損800W、50%負荷（皮相電力に対して50%であることに注意）より、

$$P_c=0.5^2×0.8=0.2kW$$

10時間運転より、1日の銅損による損失量は、$0.2×10=2kWh$

鉄損$P_i=500W$であり、鉄損は24時間一定なので、1日の鉄損による損失量は、$0.5×24=12kWh$

よって、

$$\eta=\frac{200}{200+12+2}=0.9345$$

よって答えは93.4%となります。

まとめ

ここまで、変圧器の効率、可変損（銅損）と不変損負（鉄損）、そして最大効率と全日効率の計算方法について紹介してきました。

変圧器の効率の計算は比較的イメージしやすい式になっていますが、銅損については皮相電力の2乗に比例することだけは気を付けてください。

あと、本文中で紹介しましたが、最大効率について、変圧器では銅損＝鉄損の関係ですが、厳密には可変損＝不変損と理解するほうが正確です。

この先、直流分巻発電機などの最大効率を考える際にも、この部分が大事になります。

以上、変圧器の効率計算について、参考になれば幸いです。

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