【R5 上期 電験3種 理論 問17】コンデンサに水平または垂直に誘電体が挿入された時の電界強度の関係と静電エネルギーの比率の計算問題

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この記事では、令和5年度 上期 電験3種 理論 問17の過去問解説をします。

令和5年度 上期 電験3種 理論 問17 問題文

図のように、極板間の厚さ$d[m]$、表面積$S\left[{\rm m^2}\right]$の平行板コンデンサAとBがある。コンデンサAの内部は、比誘電率と厚さが異なる3種類の誘電体で構成され、極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。コンデンサBの内部は、比誘電率と水平方向の断面積が異なる3種類の誘電体で構成されている。コンデンサAの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ$E_{A1}$, $E_{A2}$, $E_{A3}$、コンデンサBの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれ$E_{B1}$, $E_{B2}$, $E_{B3}$とし、端効果、初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。また、真空の誘電率を$\varepsilon_0\left[{\rm F/m}\right]$とする。両コンデンサの上側の極板に電圧$V\left[{\rm V}\right]$の直流電源を接続し、下側の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。


コンデンサA

コンデンサB

(a)コンデンサAにおける各誘電体内部の電界の強さの大小関係とその中の最大値の組み合わせとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)$E_{A1}>E_{A2}>E_{A3}$, $\frac{3V}{5d}$

(2)$E_{A1}<E_{A2}<E_{A3}$, $\frac{3V}{5d}$

(3)$E_{A1}=E_{A2}=E_{A3}$, $\frac{V}{d}$

(4)$E_{A1}>E_{A2}>E_{A3}$, $\frac{9V}{5d}$

(5)$E_{A1}<E_{A2}<E_{A3}$, $\frac{9V}{5d}$

(b)コンデンサA全体の蓄積エネルギーは、コンデンサB全体の蓄積エネルギーの何倍か、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)0.72

(2)0.83

(3)1.00

(4)1.20

(5)1.38

解答・解説

解説において、添え字$A$, $A_1$, $A_2$, $A_3$, $B$, $B_1$, $B_2$, $B_3$は、問題図の各誘電体の添え字に対応します。

(a)誘電体が水平に挿入されたコンデンサ内部の電界強度の関係

コンデンサAについては、下図に示す通り、電束密度は等しいので、

$$D=2\varepsilon_0E_{A1}=3\varepsilon_0E_{A2}=6\varepsilon_0E_{A3}$$

となります。

これより、

$$\begin{cases}
E_{A1}=\frac{D}{2\varepsilon_0}\\
E_{A2}=\frac{D}{3\varepsilon_0}\\
E_{A3}=\frac{D}{6\varepsilon_0}
\end{cases}$$

となるので、

$$E_{A1}>E_{A2}>E_{A3}$$

になります。

なお、

$$\begin{matrix}E_{A2}=\frac{2}{3}E_{A1}&,&E_{A3}=\frac{1}{3}E_{A1}\\\end{matrix}$$

の関係があることもわかります。

また、

$$V=Ed$$

の関係から、

$$\begin{align}
V&=E_{A1}\frac{d}{6}+E_{A2}\frac{d}{3}+E_{A3}\frac{d}{2}\\
&=E_{A1}\frac{d}{6}+\frac{2}{3}E_{A1}\frac{d}{3}+\frac{1}{3}E_{A1}\frac{d}{2}\\
&=\frac{5}{9}E_{A1}
\end{align}$$

したがって、

$$E_{A1}=\frac{9}{5}V$$

となります。したがって、答えは(4)です。

(b)誘電体の挿入形式による静電エネルギーの違い

コンデンサの静電エネルギーは、

$$\frac{1}{2}CV^2$$

で計算できるので、その比率は、

$$\frac{\frac{1}{2}C_AV^2}{\frac{1}{2}C_BV^2}=\frac{C_A}{C_B}$$

となるので、コンデンサA及びコンデンサBの静電容量の比率を求めればいい。

■コンデンサAの静電容量

コンデンサAは誘電体が直列に挿入されているので、コンデンサの直列接続と見ればいい。

コンデンサの静電容量の公式から、

$$\begin{cases}
C_{A1}=\frac{{2\varepsilon}_0}{\frac{d}{6}}S=\frac{12\varepsilon_0}{d}S\\
C_{A2}=\frac{{3\varepsilon}_0}{\frac{d}{3}}S=\frac{9\varepsilon_0}{d}S\\
C_{A3}=\frac{{6\varepsilon}_0}{\frac{d}{2}}S=\frac{12\varepsilon_0}{d}S\\
\end{cases}

となり、全体の静電容量は、

$$\begin{align}
C_A&=\frac{1}{\frac{1}{C_{A1}}+\frac{1}{C_{A2}}+\frac{1}{C_{A3}}}\\
&=\frac{1}{\frac{d}{12\varepsilon_0S}+\frac{d}{9\varepsilon_0S}+\frac{d}{12\varepsilon_0S}}\\
&=\frac{18}{5}\frac{\varepsilon_0S}{d}
\end{align}$$

■コンデンサBの静電容量

同様に、コンデンサBについても、公式から、

$$\begin{cases}
C_{B1}=\frac{{2\varepsilon}_0}{d}\frac{S}{6}=\frac{\varepsilon_0}{3d}S\\
C_{B2}=\frac{{3\varepsilon}_0}{d}\frac{S}{3}=\frac{\varepsilon_0}{d}S\\
C_{B3}=\frac{{6\varepsilon}_0}{d}\frac{S}{2}=\frac{3\varepsilon_0}{d}S
\end{cases}$$

となります。

コンデンサBは、並列接続とみることができるので、

$$\begin{align}
C_B&=C_{B1}+C_{B2}+C_{B3}\\
&=\frac{\varepsilon_0}{3d}S+\frac{\varepsilon_0}{d}S+\frac{3\epsilon_0}{d}S\\
&=\frac{13}{3}\frac{\varepsilon_0}{d}
\end{align}$$

となります。

よって、静電エネルギーの比率は、

$$\begin{align}
\frac{C_A}{C_B}&=\frac{\frac{18}{5}\frac{\varepsilon_0S}{d}}{\frac{13}{3}\frac{\varepsilon_0}{d}}\\
&=0.830769\\
&≒0.83
\end{align}$$

となります。

したがって、答えは(2)です。

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