【R5 上期 電験3種 理論 問1】平行平板コンデンサ内部の電界と電束密度及び静電容量の計算

令和5年度 上期 電験3種 理論 問1 問題文

電極板面積と電極板間隔が共に$S\left[{\rm m^2}\right]$と$d\left[{\rm m}\right]$で、一方は比誘電率が$\varepsilon_{r1}$の誘電体からなる平行平板コンデンサ$C_1$と、他方は比誘電率が$\varepsilon_{r2}$の誘電体からなる平行平板コンデンサC_2がある。今、これらを図のように並列に接続し、端子A, B間に直流電圧$V_0\left[{\rm V}\right]$を加えた。このとき、コンデンサ$C_1$の電極板間の電界の強さを$E_1\left[{\rm V/m}\right]$、電束密度を$D_1\left[{\rm C/m^2}\right]$、また、コンデンサ$C_2$の電極板間の電界の強さを$E_2\left[{\rm V/m}\right]$、電束密度を$D_2\left[{\rm C/m^2}\right]$とする。両コンデンサの電界の強さ$E_1\left[V/m\right]$と$E_2\left[{\rm V/m}\right]$はそれぞれ$\fbox{(ア)}$であり、電束密度$D_1\left[{\rm C/m^2}\right]$と$D_2\left[{\rm C/m^2}\right]$はそれぞれ$\fbox{(イ)}$である。したがって、コンデンサ$C_1$に蓄えられる電荷を$Q_1\left[{\rm C}\right]$、コンデンサ$C_2$に蓄えられる電荷を$Q_2\left[{\rm C}\right]$とすると、それらはそれぞれ$\fbox{(ウ)}$となる。
ただし、電極板の厚さ及びコンデンサの端効果は、無視できるものとする。また、真空の誘電率を$\varepsilon_0\left[{\rm F/m}\right]$とする。
上記の記述中の空白箇所(ア)~(ウ)に当てはまる式の組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
(ア) (イ) (ウ)
(1)
$E_1=\frac{\varepsilon_{r1}}{d}V_0$
$E_2=\frac{\varepsilon_{r2}}{d}V_0$
$D_1=\frac{\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$
$D_2=\frac{\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$
$Q_1=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$
$Q_2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$
(2)
$E_1=\frac{\varepsilon_{r1}}{d}V_0$
$E_2=\frac{\varepsilon_{r2}}{d}V_0$
$D_1=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$
$D_2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$
$Q_1=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$
$Q_2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$
(3)
$E_1=\frac{V_0}{d}$
$E_2=\frac{V_0}{d}$
$D_1=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$
$D_2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$
$Q_1=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$
$Q_2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$
(4)
$E_1=\frac{V_0}{d}$
$E_2=\frac{V_0}{d}$
$D_1=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$
$D_2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$
$Q_1=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$
$Q_2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$
(5)
$E_1=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}V_0$
$E_2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}V_0$
$D_1=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0$
$D_2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}SV_0$
$Q_1=\frac{\varepsilon_0}{d}SV_0$
$Q_2=\frac{\varepsilon_0}{d}SV_0$

解答・解説

コンデンサの両端電圧が$V_0\left[{\rm V}\right]$のとき、内部の電界の大きさは、

$$E=\frac{V_0}{d} \tag{1}$$

である。

よって、電束密度$D_1$及び$D_2$は、

$$D_1=\varepsilon_0\varepsilon_{r1}E=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}V_0 \tag{2}$$

$$D_2=\varepsilon_0\varepsilon_{r2}E=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r2}}{d}V_0 \tag{3}$$

となる。

また、並行平板コンデンサの静電容量は、

$$C_1=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}S \tag{4}$$

$$C_2=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}S \tag{5}$$

であるから、蓄えられている電荷量$Q_1$及び$Q_2$は、

$$Q_1=C_1V_0=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0 \tag{6}$$

$$Q_2=C_2V_0=\frac{\varepsilon_0\varepsilon_{r1}}{d}SV_0 \tag{7}$$

となる。

よって、(4)が正解。

参考に、空欄(ウ)について、ガウスの法則からこの問題を解いてみましょう。

平行平板コンデンサに電荷$Q$を充電したとき、一方の極板が作る磁界は、ガウスの法則から、

$$2SE=\frac{Q}{\varepsilon}$$

なので、

$$E=\frac{Q}{2\varepsilon S}$$

ここで、電界は上側の極板と下側の極板から生じていて、方向は同じなので2倍して、

$$E=\frac{Q}{\varepsilon S}$$

極板間の電位差$V_0$は、

$$V_0=Ed=\frac{Q}{\varepsilon S}$$

コンデンサに蓄えた電荷は、

$$Q=\frac{\varepsilon}{d}V_0$$

したがって、題意に沿うように$\varepsilon$を置き換えれば、

$$Q_1=\frac{\varepsilon_{r1}\varepsilon_0}{d}V_0$$

$$Q_1=\frac{\varepsilon_{r1}\varepsilon_0}{d}V_0$$

となって、式(6)、式(7)と同じ答えが得られます。

こんな感じで、

  • コンデンサの問題は電位差をスタートとする解法
  • ガウスの法則をスタートとする解法

の2パターンが考えられるので、確実に解けるようにしておきましょう。

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