【R4 上期 電験3種 理論 問8】回路インピーダンスの変化による消費電力の変化に関する計算問題

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この記事では、令和4年度 上期 電験3種 理論 問8の過去問解説をします。

令和4年度 上期 電験3種 理論 問8 問題文

図のように、周波数$f\left[{\rm Hz}\right]$の正弦波交流電圧$E\left[{\rm V}\right]$の電源に、$R\left[{\rm Ω}\right]$の抵抗、インダクタンス$L\left[{\rm H}\right]$のコイルとスイッチ${\rm S}$を接続した回路がある。スイッチ${\rm S}$が開いているときに回路が消費する電力$\left[{\rm W}\right]$は、スイッチ${\rm S}$が閉じているときに回路が消費する電力$\left[{\rm W}\right]$の$\frac{1}{2}$になった。このとき、$L\left[{\rm H}\right]$の値を表す式として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)$2\pi fR$

(2)$\frac{R}{2\pi f}$

(3)$\frac{2\pi f}{R}$

(4)$\frac{\left(2\pi f\right)^2}{R}$

(5)$\frac{R}{\pi f}$

解答・解説

スイッチ${\rm S}$がオフのとき、回路のインピーダンスは、

$$R+j2\pi fL$$

なので、

$$\sqrt{R^2+\left(2\pi f L\right)^2}$$

になります。流れている電流は、

$$I=\frac{E}{\sqrt{R^2+\left(2\pi f L\right)^2}}$$

であり、消費電力は、

$$RI^2=\frac{RE^2}{R^2+\left(2\pi f L\right)^2}$$

になります。

スイッチ${\rm S}$がオンであれば、インダクタ$L$には電流が流れないので、回路の消費電力は、

$$\frac{E^2}{R}$$

になります。

問題では、消費電力が、スイッチをオフのときは、オンのときの$\frac{1}{2}$であることから、

$$\frac{RE^2}{R^2+\left(2\pi f L\right)^2}=\frac{1}{2}\frac{E^2}{R}$$

が成り立つので、

$$R^2+\left(2\pi f L\right)^2=2R^2$$

$$2\pi fL=R$$

$$L=\frac{R}{2\pi f}$$

になります。

よって、答えは(2)です。

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