【R4 上期 電験3種 理論 問1】平行平板コンデンサの電圧一定条件化における諸量の変化を問う論説問題

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この記事では、令和4年度 上期 電験3種 理論 問1の過去問解説をします。

令和4年度 上期 電験3種 理論 問1 問題文

面積がともに$S\left[{\rm m^2}\right]$で円形の二枚の電極板(導体平板)を、互いの中心が一致するように間隔$d\left[{\rm m}\right]$で平行に向かい合わせて置いた平行板コンデンサがある。電極板間は誘電率$\varepsilon\left[{\rm F/m}\right]$の誘電体で一様に満たされ、電極板間の電位差は電圧$V\left[{\rm V}\right]$の直流電源によって一定に保たれている。この平行板コンデンサに関する記述として、誤っているものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

(1) 誘電体内の等電位面は、電極板と誘電体の境界面に対して平行である。

(2) コンデンサに蓄えられる電荷量は、誘電率が大きいほど大きくなる。

(3) 誘電体内の電界の大きさは、誘電率が大きいほど小さくなる。

(4) 誘電体内の電束密度の大きさは、電極板の単位面積当たりの電荷量の大きさに等しい。

(5) 静電エネルギーは誘電体内に蓄えられ、電極板の面積を大きくすると静電エネルギーは増大する。

解答・解説

この問題の正解は(3)です。

この問題では、平行平板コンデンサの電圧が一定の条件です。

問題で示されている状況を、下図に示します。

※この手の問題は、何が一定条件なのかを明確にしたうえで考えるようにしてください。

(1)誘電体内の等電位面の誘電体の境界面の関係

電界は一様なので、等電位面は電極板と誘電体との境界面に対して平行です。

よって正しいです。

(2)コンデンサの電荷量と誘電率の関係

コンデンサの静電容量は、

$$C=\frac{\varepsilon}{d}S$$

で示されるので、誘電率が大きくなれば静電容量も大きくなり、

$$Q=CV$$

に従って、蓄えられる電荷量も増加します。

よって正しいです。

(3)誘電体の誘電率と電界の大きさの関係

並行平板コンデンサにおける電界は、

$$E=\frac{V}{d}$$

になるので、誘電率$\varepsilon$の大きさには影響しません。

よって誤りです。

なお、本問は電位差$V$一定条件なので、誤りになります。

もし電荷量$Q$が一定の条件であれば、

$$E=\frac{Q}{\varepsilon S}$$

となるので、誘電率$\varepsilon$が大きいほど電界は小さくなります。よって、正しい表記になります。

試験当日は、題意を確実に読み取るようにしてください。

(4)誘電体内の電束密度の大きさと電極板の単位面積当たりの電荷量の関係

選択肢(3)の補足で説明しましたが、単位面積当たりの電荷量を$\sigma$とすれば、電界Eは、

$$E=\frac{Q}{\varepsilon S}=\frac{\sigma}{\varepsilon}$$

であり、電束密度$D$は、

$$D=\varepsilon E=Q$$

になるので、正しいです。

(5)静電エネルギーと極板面積の関係

電極板の面積が増えるということは、コンデンサが並列に接続され、静電容量が増回することを意味します。

すると、コンデンサエネルギー

$$\frac{1}{2}CV^2$$

にしたがって、エネルギーが増加します。

よって正しいです。

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