【R4 下期 電験3種 理論 問7】抵抗の温度変化による合成抵抗値の変化率の計算問題

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この記事では、令和4年度 下期 電験3種 理論 問7の過去問解説をします。

令和4年度 下期 電験3種 理論 問7 問題文

20℃における抵抗値が$R_1\left[{\rm Ω}\right]$、抵抗温度係数が$\alpha_1\left[{\rm ℃^{-1}}\right]$の抵抗器Aと$20{\rm ℃}$における抵抗値が$R_2\left[{\rm Ω]\right]$、抵抗温度係数が$\alpha_2=0{\rm ℃^{-1}}$の抵抗器Bが並列に接続されている。その$20{\rm ℃}$と$21{\rm ℃}$における並列抵抗値をそれぞれ$r_{20}\left[{\rm Ω}\right]$、$r_{21}\left[{\rm Ω}\right]$とし、$\frac{r_{21}-r_{20}}{r_{20}}$を変化率とする。この変化率として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)$\frac{\alpha_1R_1R_2}{R_1+R_2+\alpha_1^2R_1}$

(2)$\frac{\alpha_1R_2}{R_1+R_2+\alpha_1R_1}$

(3)$\frac{\alpha_1R_1}{R_1+R_2+\alpha_1R_1}$

(4)$\frac{\alpha_1R_2}{R_1+R_2+\alpha_1R_2}$

(5)$\frac{\alpha_1R_1}{R_1+R_2+\alpha_1R_2}$

解答・解説

$20{\rm ℃}$における抵抗値は、

$$\frac{1}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$$

になります。

$21{\rm ℃}$のとき、抵抗値は下図のように、

$$\begin{cases}
R_1\left(1+\alpha_1\right)\\
R_2\left(1+\alpha_2\right)
\end{cases}$$

になるので、合成抵抗は、

$$\frac{1}{\frac{1}{R_1\left(1+\alpha_1\right)}+\frac{1}{R_2}}=\frac{R_1R_2\left(1+\alpha_1\right)}{R_1\left(1+\alpha_1\right)+R_2}$$

になります。

変化率を計算すると、

$$\begin{align}
\frac{r_{21}-r_{20}}{r_{20}}&=\frac{\frac{R_1R_2\left(1+\alpha_1\right)}{R_1\left(1+\alpha_1\right)+R_2}-\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}}{\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}}\\
&=\left(R_1+R_2\right)\left(\frac{1+\alpha_1}{R_1\left(1+\alpha_1\right)+R_2}-\frac{1}{R_1+R_2}\right)\\
&=\frac{\left(R_1+R_2\right)\left(1+\alpha_1\right)-\left(R_1\left(1+\alpha_1\right)+R_2\right\}}{R_1+R_2+\alpha_1R_1}\\
&=\frac{R_1+\alpha_1R_1+R_2+\alpha_1R_2-R_1-\alpha_1R_1-R_2}{R_1+R_2+\alpha_1R_1}\\
&=\frac{\alpha_1R_2}{R_1+R_2+\alpha_1R_1}
\end{align}$$

となるので、答えは(2)です。

なお、選択肢の中で、選択肢(2)と選択肢(3)は、単位がΩになっていないので、解答としてあり得ません。

電験3種 過去問の類題

抵抗の温度変化に関する問題は、令和5年度 上期 理論 問7で出題されています。

内容としては、スイッチをオンにした瞬間を時刻0とし、十分な時間電流を流した後に、電流は時刻0の時と比較してどの程度減少するかを問う問題です。

抵抗値の温度変化がキーポイントになるので、併せて参考にしてください。

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