【R4 下期 電験3種 理論 問17】帯電した導体球を接触させた後に働くクーロン力の釣り合いの計算問題

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この記事では、令和4年度 下期 電験3種 理論 問17の過去問解説をします。

令和4年度 下期 電験3種 理論 問17

大きさが等しい二つの導体球A、Bがある。両導体球に電荷が蓄えられている場合、両導体球の間に働く力は、導体球に蓄えられている電荷の積に比例し、導体球間の距離の2乗に反比例する。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし、両導体球の大きさは$0.3{\rm m}$に比べて極めて小さいものとする。

(a) この場合の比例定数を求める目的で、導体球Aに$+2×{10}^{-8}{\rm C}$、導体球Bに$+3\times{10}^{-8}{\rm C}$の電荷を与えて、導体球の中心間距離で$0.3{\rm m}$隔てて両導体球を置いたところ、両導体球間に$6×{10}^{-5}{\rm N}$の反発力が働いた。この結果から求められる比例定数${\rm N・m^2/C^2}$として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし、導体球A、B の初期電荷は零とする。

(1)$3×{10}^9$

(2)$6×{10}^9$

(3)$8×{10}^9$

(4)$9×{10}^9$

(5)$15×{10}^9$

(b) 小問(a)の導体球A、Bを、電荷を保持したままで$0.3{\rm m}$の距離を隔てて固定した。ここで、導体球A、Bと大きさが等しく電荷を持たない導体球Cを用意し、導体球Cをまず導体球Aに接触させ、次に導体球Bに接触させた。この導体球Cを図のように導体球Aと導体球Bの間の直線上に置くとき、導体球Cが受ける力が釣り合う位置を導体球Aとの中心間距離$\left[{\rm m}\right]$で表したとき、その距離に最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)$0.095$

(2)$0.105$

(3)$0.115$

(4)$0.124$

(5)$0.135$

解答・解説

(a)比例定数kの計算

定数を$k$とし、力$F$が電荷$Q$に比例し、距離$r$の2乗に反比例する場合、

$$F=k\frac{Q^2}{r^2}$$

の関係があります。

与えられた数値を代入すれば、

$$6×{10}^{-5}=k\frac{2×{10}^{-8}×3×{10}^{-8}}{{0.3}^2}$$

$$k=0.09×{10}^{11}=9×{10}^9$$

になります。

よって、答えは(4)です。

(b)帯電導体接触後のクーロン力の釣り合い位置の計算

導体が接触したとき、電荷を半分ずつ分けて保持します。

まず、導体球Cが導体球Aに接触したとき、
導体球A:$1×{10}^{-8}\left[{\rm C}\right]$
導体球C:$1×{10}^{-8}\left[{\rm C}\right]$
になり、次に導体球Cが導体球Bに接触すれば、
導体球B:$2×{10}^{-8}\left[{\rm C}\right]$
導体球C:$2×{10}^{-8}\left[{\rm C}\right]$
になります。

この時、導体球Aからの距離を$r$とすれば、導体球Cが受ける反発力は、

$$k\frac{1×{10}^{-8}×2×{10}^{-8}}{r^2}=k\frac{2×{10}^{-16}}{r^2}$$

になります。

同様に、導体球Bと導体球Cの間で生じる反発力は、

$$k\frac{2×{10}^{-8}×2×{10}^{-8}}{\left(0.3-r\right)^2}=k\frac{4×{10}^{-16}}{\left(0.3-r\right)^2}$$

になります。

これらの反発力が等しいので、

$$k\frac{2\times{10}^{-16}}{r^2}=k\frac{4\times{10}^{-16}}{\left(0.3-r\right)^2}$$

$$\left(0.3-r\right)^2=2r^2$$

$$0.09-0.6r+r^2=2r^2$$

$$r^2+0.6r-0.09=0$$

$$\begin{align}
r&=\frac{-0.6±\sqrt{0.6^2-4・1・\left(-0.09\right)}}{2}
=\frac{-0.6±0.848528}{2}
\end{align}$$

$r>0$なので、

$$r=\frac{-0.6+0.848528}{2}=0.124264\fallingdotseq0.124$$

になります。

よって、答えは(4)になります。

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