令和3年度 電験3種 理論 問7の過去問解説

令和3年度 電験3種 理論 問7

図のように、起電力$E\left[\mathrm{V}\right]$、内部抵抗$r\left[\mathrm{Ω}\right]$の電池$n$個と可変抵抗$R\left[\mathrm{Ω}\right]$を直列に接続した回路がある。この回路において、可変抵抗$R\left[\mathrm{Ω}\right]$で消費される電力が最大になるようにその値$\left[\mathrm{Ω}\right]$を調整した。このとき、回路に流れる電流$I$の値$\left[\mathrm{A}\right]$を表す式として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)$\frac{E}{r}$  (2)$\frac{nE}{\left(\frac{1}{n}+n\right)r}$  (3)$\frac{nE}{\left(1+n\right)r}$  (4)$\frac{E}{2r}$  (5)$\frac{nE}{r}$

解答・解説

正解(4)

回路に流れる電流は、電源電圧が$nE$、抵抗が$nr+R$であることから、

$I=\frac{nE}{nr+R}$

になります。

さらに、可変抵抗$R$の消費電力$P$は、

$$P=RI^2=R\left(\frac{nE}{nr+R}\right)^2$$

になります。

ここで、$P$のうち、

$$\frac{R}{\left(nr+R\right)^2}$$

が最大であればいいので、微分=0を計算して、

$$nr+R2-R・2nr+Rnr+R4=0$$

$$n^2r^2+2nrR+R^2-2nrR-2R^2=0$$

$$n^2r^2=R^2$$

$$R=nr$$

になります。

よって、

$$I=\frac{nE}{nr+nr}=\frac{E}{2r}$$

になります。

したがって、正解は(4)です。

微分とは、関数の傾きです。最大、あるいは最小の時、微分値は0になるので、消費電力などの最大・最小を計算する時には、微分値=0の条件となることを覚えておきましょう。(電験で変曲点は登場しないので読み流して大丈夫です。)

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