令和3年度 電験3種 理論 問1の過去問解説

令和3年度 電験3種 理論 問1

次の文章は、平行板コンデンサに関する記述である。
図のように、同じ寸法の直方体で誘電率の異なる二つの誘電体(比誘電率$\varepsilon_{r1}$の誘電体1と比誘電率$\varepsilon_{r2}$の誘電体2)が平行板コンデンサに充填されている。極板間は一定の電圧$V\left[\mathrm{V}\right]$に保たれ、極板Aと極板Bにはそれぞれ$+Q\left[\mathrm{C}\right]$と$-Q\left[\mathrm{C}\right]$($Q>0$)の電荷が蓄えられている。誘電体1と誘電体2は平面で接しており、その境界面は極板に対して垂直である。ただし、端効果は無視できるものとする。
この平行板コンデンサにおいて、極板A、Bに平行な誘電体1、誘電体2の断面をそれぞれ面$S_1$、面$S_2$(面$S_1$と面$S_2$の断面積は等しい)とすると、面$S_1$を貫く電気力線の総数(任意の点の電気力線の密度は、その点での電界の大きさを表す)は、面$S_2$を貫く電気力線の総数の(ア)倍である。面$S_1$を貫く電束の総数は面$S_2$を貫く電束の総数の(イ)倍であり、面$S_1$と面$S_2$を貫く電束の数の総和は(ウ)である。

上記の記述中の空白箇所(ア)~(ウ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(ア) (イ) (ウ)
(1) $1$ $\frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}$ $Q$
(2) $1$ $\frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}$ $\frac{Q}{\varepsilon_{r1}}+\frac{Q}{\varepsilon_{r2}}$
(3) $1$ $\frac{\varepsilon_{r2}}{\varepsilon_{r1}}$ $\frac{Q}{\varepsilon_{r1}}+\frac{Q}{\varepsilon_{r2}}$
(4) $\frac{\varepsilon_{r2}}{\varepsilon_{r1}}$ $1$ $\frac{Q}{\varepsilon_{r1}}+\frac{Q}{\varepsilon_{r2}}$
(5) $\frac{\varepsilon_{r2}}{\varepsilon_{r1}}$ $1$ $Q$

解答・解説

●正解(1)

電気力線は電界の強さを示します。

電界は、

$$E=\frac{V}{d}$$

であり、誘電率に影響しないので、同じになります。

よって、電気力線も同じ本数になります。

電束は、電界に誘電率と面積をかけることで、

$$\phi=\varepsilon ES$$

で計算できます。

$S_1$を貫く電束の本数は、

$$\phi_1=\varepsilon_{r1}\varepsilon_0\frac{V}{d}S_1$$

$S_2$を貫く電束の本数は、

$$\phi_2=\varepsilon_{r2}\varepsilon_0\frac{V}{d}S_1$$

となるので、その比率は

$$\frac{\phi_1}{\phi_2}=\frac{\varepsilon_{r1}}{\varepsilon_{r2}}$$

になります。

最後に、電束の総和$\phi$は、蓄えている電荷の大きさに等しいので、

$$\phi=Q$$

になります。

よって、正解は(1)になります。

なお、$\phi_1$と$\phi_2$から$\phi$を計算すれば、

$$\begin{align}
\phi&=\phi_1+\phi_2\\
&=\left(\varepsilon_{r1}S_1+\varepsilon_{r2}S_2\right)\varepsilon_0\frac{V}{d}\\
&=Q
\end{align}$$

となります。

これより、

$$\begin{align}
C&=\frac{Q}{V}\\
&=\frac{\left(\varepsilon_{r1}S_1+\varepsilon_{r2}S_2\right\}\varepsilon_0}{d}
\end{align}$$

となって、並列接続されたコンデンサの静電容量が計算できます。

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