令和元年度 電験3種 理論 問15の過去問解説

令和元年度 電験3種 理論 問15

図のように、平らで十分大きい導体でできた床から高さ$h\left[\mathrm{m}\right]$の位置に正の電気量$Q\left[\mathrm{C}\right]$をもつ点電荷がある。次の(a)及び(b)の問に答えよ。ただし、点電荷から床に下ろした垂線の足を点O、床より上側の空間は真空とし、床の導体は接地されている。真空の誘電率を$\varepsilon_0\left[\mathrm{F/m}\right]$とする。

(a) 床より上側の電界は、点電荷のつくる電界と、床の表面に静電誘導によって現れた面電荷のつくる電界との和になる。床より上側の電気力線の様子として、適切なものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(b)点電荷は床表面に現れた面電荷から鉛直方向の静電吸引力$F\left[^mathrm{N}\right]$を受ける。その力は床のない状態で点Oに固定した電気量$-\frac{Q}{4}\left[^mathrm{C}\right]$の点電荷から受ける静電力に等しい。$F\left[^mathrm{N}\right]$に逆らって、点電荷を高さ$h\left[\mathrm{m}\right]$から$z\left[\mathrm{m}\right]$(ただし$h<z$)まで鉛直方向に引き上げるのに必要な仕事$W\left[\mathrm{J}\right]$を表す式として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)$\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0z^2}$ (2)$\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{z}\right)$ (3)$\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{z}\right)$
(4)$\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0z^2}$ (5)$\frac{Q^2}{\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{h^2}-\frac{1}{z^2}\right)$

解答・解説

正解(a):(5)、(b):(3)

(a)

電気力線は、正電荷から出発し、導体表面に垂直に入射します。

よって、正解は(5)です。

(b)

導体表面から見た電位の変化量を計算すればいいので、移動前が、

$$V_b=\frac{Q・\frac{Q}{4}}{4\pi\varepsilon_0h}=\frac{Q^2}{16\pi\varepsilon_0h}$$

移動後は、

$$V_a=\frac{Q・\frac{Q}{4}{4\pi \varepsilon_0z}=\frac{Q^2}{16\pi \varepsilon_0z}$$

よって、

$$W=-\left(V_a-V_b\right)=\frac{Q^2}{16\varepsilon_0}\left(\frac{1}{h}-\frac{1}{z}\right)$$

となります。

よって、答えは(3)です。

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