平成30年度 電験3種 理論 問17の過去問解説

平成30年度 電験3種 理論 問17

空気(比誘電率1)で満たされた極板間距離$5d\left[\mathrm{m}\right]$の平行板コンデンサがある。図のように、一方の極板と大地との間に電圧$V_0\left[\mathrm{V}\right]$の直流電源を接続し、極板と同形同面積で厚さ$4d\left[\mathrm{m}\right]$の固体誘電体(比誘電率4)を極板と接するように挿入し、他方の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。
ただし、コンデンサの端効果は無視できるものとする。

(a)極板間の電位分布を表すグラフ(縦軸:電位$V\left[\mathrm{V}\right]$、横軸:電源が接続された極板からの距離$x\left[\mathrm{m}\right]$)として、最も近いものを図中の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(b)$V_0=10\mathrm{kV}$、$d=1\mathrm{mm}$とし、比誘電率4の固体誘電体を比誘電率$\varepsilon_r$の固体誘電体に差し替え、空気ギャップの電界の強さが$2.5\mathrm{kV/mm}$となったとき、$\varepsilon_r$の値として最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)0.75  (2)1.00  (3)1.33  (4)1.67  (5)2.00

解答・解説

正解(a):(1)、(b):(3)

(a)

電圧の勾配は電界の大きさになります。

そして、コンデンサ内部で電束密度は等しいので、

$$\begin{matrix}D=\varepsilon E&\rightarrow&E=\frac{D}{\varepsilon}\\\end{matrix}$$

となるので、電界の大きさは誘電率に反比例します。

よって、$0$~$4d$の区間に対し、$4d$~$5d$の区間の傾きが4倍あればいいので、この条件を満たすのは、(1)になります。

(b)

電位差$V$は電界$E$と距離$d$を用いて、

$$V=Ed$$

で計算できることを利用すれば、空気ギャップにおいて、電位差は、

$$2.5\times1=2.5\left[kV\right]$$

になるので、固体誘電体には$V_0$との差分の

$$10-2.5=7.5\left[\mathrm{kV}\right]$$

が印加されています。

よって、固体誘電体の電界は、

$$\frac{7.5}{4}=1.875\left[\mathrm{kV/mm}\right]$$

になります。

さて、小問(1)で導いたように、電界の逆比が比誘電率になるので、

$$\varepsilon_r=\frac{2.5}{1.875}\fallingdotseq1.33$$

となるので、正解は(3)です。

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