平成30年度 電験3種 理論 問1の過去問解説

平成30年度 電験3種 理論 問1

次の文章は、帯電した導体球に関する記述である。
真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点Oからつり下げられている。真空の誘電率を$\varepsilon_0\left[\mathrm{F/m}\right]$、重力加速度を$g\left[\mathrm{m/s^2}\right]$とする。A及びBは同じ大きさと質量$m\left[\mathrm{kg}\right]$をもつ。糸の長さは各導体球の中心点が点Oから距離$l\left[\mathrm{m}\right]$となる長さである。
まず、導体球A及びBにそれぞれ電荷$Q\left[\mathrm{C}\right]$、$3Q\left[\mathrm{C}\right]$を与えて帯電させたところ、静電力による(ア)が生じ、図のようにA及びBの中心点間が$d\left[\mathrm{m}\right]$離れた状態で釣り合った。ただし、導体球の直径はdに比べて十分に小さいとする。このとき、個々の導体球において、静電力$F=$(イ)$\left[\mathrm{N}\right]$、重力$mg\left[\mathrm{N}\right]$、糸の張力$T\left[\mathrm{N}\right]$、の三つの力が釣り合っている。三平方の定理より$F^2+\left(mg\right)^2=T^2$が成り立ち、張力の方向を考えると$\frac{F}{T}$は$\frac{d}{2l}$に等しい。これらより$T$を消去し整理すると、$d$が満たす式として、

$$k\left(\frac{d}{2l}\right)^3=\sqrt{1-\left(\frac{d}{2l}\right)^2}$$

が導かれる。ただし、係数k=(ウ)である。
次に、AとBとを一旦接触させたところAB間で電荷が移動し、同電位となった。そしてAとBとが力の釣合いの位置に戻った。接触前に比べ、距離dは(エ)した。

上記の記述中の空白箇所(ア)、(イ)、(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(ア) (イ) (ウ) (エ)
(1) 反発力 $\frac{3Q^2}{4\pi\varepsilon_0d^2}$ $\frac{16\pi\varepsilon_0l^2mg}{3Q^2}$ 増加
(2) 吸引力 $\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0d^2}$ $\frac{4\pi\varepsilon_0l^2mg}{Q^2}$ 増加
(3) 反発力 $\frac{3Q^2}{4\pi\varepsilon_0d^2}$ $\frac{4\pi\varepsilon_0l^2mg}{Q^2}$ 増加
(4) 反発力 $\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0d^2}$ $\frac{16\pi\varepsilon_0l^2mg}{3Q^2}$ 減少
(5) 吸引力 $\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0d^2}$ $\frac{4\pi\varepsilon_0l^2mg}{Q^2}$ 減少

解答・解説

正解(1)

導体球AとBに与えた電荷は同符号なので、反発力が生じます。静電力は、

$$F=\frac{3Q^2}{4\pi\varepsilon_0d^2}$$

であり、あとは問題の誘導に沿って解けば、

$$F^2+\left(mg\right)^2=T^2$$

$$\left(\frac{F}{T}\right)^2+\left(\frac{mg}{T}\right)^2=1$$

$$\left(\frac{d}{2l}\right)^2+\left(\frac{mgd}{2lF}\right)^2=1$$

$$\frac{mgd}{2lF}=\sqrt{1-\left(\frac{d}{2l}\right)^2}$$

$$\frac{mgd}{2l}・\frac{4\pi\varepsilon_0d^2}{3Q^2}=\sqrt{1-\left(\frac{d}{2l}\right)^2}$$

$$\frac{4\pi\varepsilon_0mg}{3Q^2}・\frac{d^3}{2l}=\sqrt{1-\left(\frac{d}{2l}\right)^2}$$

となるので、

$$k=\frac{4\pi\varepsilon_0mg}{3Q^2}$$

となります。

導体球が接触すれば、それぞれの導体球の電荷量は2Qずつになるので、静電力は、

$$F=\frac{4Q^2}{4\pi\varepsilon_0d^2}$$

が増加します。よって、距離dは増加します。

以上より、(ア)反発力、(イ)$\frac{3Q^2}{4\pi\varepsilon_0d^2}$、(ウ)$\frac{16\pi\varepsilon_0l^2mg}{3Q^2}$、(エ)増加となるので、正解は(1)です。

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