平成29年度 電験3種 理論 問2の過去問解説

平成29年度 電験3種 理論 問2

極板の面積$S\left[\mathrm{m^2}\right]$、極板間の距離$d\left[\mathrm{m}\right]$の平行板コンデンサA、極板の面積$2S\left[\mathrm{m^2}\right]$、極板間の距離$d\left[\mathrm{m}\right]$の平行板コンデンサB及び極板の面積$S\left[\mathrm{m^2}\right]$、極板間の距離$2d\left[\mathrm{m}\right]$の平行板コンデンサCがある。各コンデンサは、極板間の電界の強さが同じ値となるようにそれぞれ直流電源で充電されている。各コンデンサをそれぞれの直流電源から切り離した後、全コンデンサを同じ極性で並列に接続し、十分時間が経ったとき、各コンデンサに蓄えられる静電エネルギーの総和の値$\left[\mathrm{J}\right]$は、並列に接続する前の総和の値$\left[\mathrm{J}\right]$の何倍になるか。その倍率として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
ただし、各コンデンサの極板間の誘電率は同一であり、端効果は無視できるものとする。

(1)0.77  (2)0.91  (3)1.00  (4)1.09  (5)1.31

解答・解説

正解(2)

極板間の電界強度が同じになるように充電されているので、それぞれのコンデンサの印加電圧は、

コンデンサA コンデンサB コンデンサC
充電電圧 $V$ $V$ $2V$
静電容量 $\varepsilon\frac{S}{d}$ $\varepsilon\frac{2S}{d}$ $\varepsilon\frac{S}{2d}$

となります。

コンデンサAの静電エネルギー$U_A$は、

$$U_A=\frac{1}{2}\varepsilon\frac{S}{d}V^2$$

コンデンサBの静電エネルギー$U_B$は、

$$U_B=\frac{1}{2}\varepsilon\frac{2S}{d}V^2=\varepsilon\frac{S}{d}V^2$$

コンデンサCの静電エネルギー$U_C$は、

$$U_C=\frac{1}{2}\varepsilon\frac{S}{2d}\left(2V\right)^2=\varepsilon\frac{S}{d}V^2$$

となるので、総エネルギーは、

$$U_A+U_B+U_C=\frac{5}{2}\varepsilon\frac{S}{d}V^2$$

になります。

この時、総電荷量は、

$$\varepsilon\frac{S}{d}V+\varepsilon\frac{2S}{d}V+\varepsilon\frac{S}{2d}2V=4\varepsilon\frac{S}{d}$$

になります。

コンデンサを並列に接続すれば、静電容量は、$C=\frac{7}{2}\varepsilon\frac{S}{d}$になり、総電荷$4\varepsilon\frac{S}{d}$はそのままなので、

$$U=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}\frac{Q^2}{C}=\frac{1}{2}\frac{\left(4\varepsilon\frac{S}{d}\right)^2}{\frac{7}{2}\varepsilon\frac{S}{d}}=\frac{16}{7}\varepsilon\frac{S}{d}V^2$$

になります。

よって、エネルギーの比率は、

$$\frac{\frac{16}{7}\varepsilon\frac{S}{d}V^2}{\frac{5}{2}\varepsilon\frac{S}{d}V^2}=0.914285\fallingdotseq0.91$$

となります。

よって、正解は(2)です。

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