平成29年度 電験3種 理論 問16の過去問解説

平成29年度 電験3種 理論 問16

図のように、線間電圧$V\left[\mathrm{V}\right]$、周波数$f\left[\mathrm{Hz}\right]$の対称三相交流電源に、$R\left[\mathrm{Ω}\right]$の抵抗とインダクタンス$L\left[\mathrm{H}\right]$のコイルからなる三相平衡負荷を接続した交流回路がある。この回路には、スイッチSを介して、負荷に静電容量$C\left[\mathrm{F}\right]$の三相平衡コンデンサを接続することができる。次の(a)及び(b)の問に答えよ。


(a)スイッチSを開いた状態において、$V=200\mathrm{V}$、$f=50\mathrm{Hz}$、$R=5\mathrm{Ω}$、$L=5\mathrm{mH}$のとき、三相負荷全体の有効電力の値$\left[\mathrm{W}\right]$と力率の値の組合せとして、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

有効電力 力率
(1) $2.29\times{10}^3$ $0.50$
(2) $7.28\times{10}^3$ $0.71$
(3) $7.28\times{10}^3$ $0.95$
(4) $2.18\times{10}^4$ $0.71$
(5) $2.18\times{10}^4$ $0.95$

(b)スイッチSを閉じてコンデンサを接続したとき、電源からみた負荷側の力率が1になった。このとき、静電容量$C$の値$\left[\mathrm{F}\right]$を示す式として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。ただし、角周波数を$\omega\left[\mathrm{rad/s}\right]$とする。

(1)$C=\frac{L}{R^2+\omega^2L^2}$  (2)$C=\frac{\omega L}{R^2+\omega^2L^2}$  (3)$C=\frac{L}{\sqrt3\left(R^2+\omega^2L^2\right)}$
(4)$C=\frac{L}{3\left(R^2+\omega^2L^2\right)}$  (5)$C=\frac{\omega L}{3\left(R^2+\omega^2L^2\right)}$

解答・解説

正解(a):(3)、(b):(4)

(a)

スイッチSを開いたときのY結線部分のインピーダンスは、

$$\dot{Z}=R+jX_L=R+j\omega L=5+j1.57$$

その大きさは、

$$Z=\left|\dot{Z}\right|=\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}$$

よって回路に流れる電流は、

$$I=\frac{\frac{V}{\sqrt3}}{Z}=\frac{\frac{V}{\sqrt3}}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}$$

となります。

抵抗による消費電力は、三相なので3倍することに注意して、

$$3RI^2=3\times5\times\left(\frac{\frac{V}{\sqrt3}}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}\right)=7282.44\left[W\right]\fallingdotseq7.28\times{10}^3\left[\mathrm{W}\right]$$

となります。

同様にコイルが消費する無効電力は、

$$3X_LI^2=3\omega L\left(\frac{\frac{V}{\sqrt3}}{\sqrt{R^2+\left(\omega L\right)^2}}\right)^2=\frac{\omega L V^2}{R^2+\left(\omega L\right)^2}=2286.687\left[\mathrm{var}\right]$$

よって力率は、

$$\frac{7282.44}{\sqrt{{7282.44}^2+{2286.687}^2}}=0.95407\fallingdotseq0.95$$

となります。

よって、正解は(3)です。

(b)

力率が1なので、コイルの消費する遅れ無効電力をコンデンサの進み無効電力でちょうど打ち消している状態になります。

コンデンサが消費している進み無効電力は、コンデンサへの印加電圧が線間電圧$V=200\left[\mathrm{V}\right]$であることに注意して、

$$3\times\frac{V^2}{X_C}=3\omega CV^2$$

になります。

よって、

$$3\begin{matrix}\omega C V^2=\frac{\omega L V^2}{R^2+\left(\omega L\right)^2}&\rightarrow&C=\frac{L}{3\left(R^2+\omega^2L^2\right)}\\\end{matrix}$$

となります。

よって、正解は(4)です。

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