平成29年度 電験3種 理論 問15の過去問解説

平成29年度 電験3種 理論 問15

図は未知のインピーダンス$\dot{Z}\left[\mathrm{Ω}\right]$を測定するための交流ブリッジである。電源の電圧を$\dot{E}\left[\mathrm{V}\right]$、角周波数を$\omega\left[\mathrm{rad/s}\right]$とする。ただし、$\omega$、静電容量$C_1\left[\mathrm{F}\right]$、抵抗$R_1\left[\mathrm{Ω}\right]$、抵抗$R_2\left[\mathrm{Ω}\right]$、抵抗$R_3\left[\mathrm{Ω}\right]$は零でないとする。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)交流検出器Dによる検出電圧が零となる平衡条件を$\dot{Z}$、$R_1$、$R_2$、$R_3$、$\omega$及び$C_1$を用いて表すと、

$$\left(\boxed{\vphantom{0}\hspace{5em}}\right)Z=R_2R_3$$

となる。

上式の空白に入る式として適切なものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)$R_1+\frac{1}{j\omega C_1}$  (2)$R_1-\frac{1}{j\omega C_1}$  (3)$\frac{R_1}{1+j\omega C_1R_1}$
(4)$\frac{R_1}{1-j\omega C_1R_1}$  (5)$\sqrt{\frac{R_1}{j\omega C_1}}$

(b)$\dot{Z}=R+jX$としたとき、この交流ブリッジで測定できる$R\left[\mathrm{Ω}\right]$と$X\left[\mathrm{Ω}\right]$の満たす条件として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)$R\geqq0$, $X\leqq0$  (2)$R>0$, $X<0$  (3)$R=0$, $X>0$
(4)$R>0$, $X>0$  (5)$R=0$, $X\leqq0$

解答・解説

正解(a):(3)、(b):(4)

(a)

ブリッジ回路の平衡条件として、対角線上のインピーダンスの積が釣り合えばいいので、

$$\frac{1}{\frac{1}{R_1}+j\omega C_1}\dot{Z}=R_2R_3$$

$$\left(\frac{R_1}{1+j\omega C_1R_1}\right)\dot{Z}=R_2R_3$$

となります。

よって、正解は(3)です。

(b)

小問(a)の式に、

$$\dot{Z}=R+jX$$

を代入すれば、

$$\left(\frac{R_1}{1+j\omega C_1R_1}\right)\left(R+jX\right)=R_2R_3$$

$$R+jX=\frac{R_2R_3}{R_1}\left(1+j\omega C_1R_1\right)$$

実部と虚部を比較すれば、

$$\left\{\begin{matrix}R=\frac{R_2R_3}{R_1}\\X=\omega C_1R_2R_3\\\end{matrix}\right.$$

となるので、$R>0$かつ$X>0$より、正解は(4)です。

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