【R2 電験2種 2次 電力・管理 問3】対称座標法による1線地絡電流の計算問題

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この記事では、令和2年度 電験2種 2次試験 電力・管理 問3の過去問解説をします。

この問題は対称座標法による1線地絡電流を計算する問題です。

通常、1線地絡故障の問題は、

• 電験1種では対称座標法
• 電験2種ではテブナンの定理

という感じで問われていましたが、珍しく電験2種でも対称座標法が登場しました。

今後は電験2種でも出題されることも十分考えられるので、確実に解けるようにしておいてください。

令和2年度 電験2種 2次試験 電力・管理 問3 問題文

対称座標法を用いた1線地絡故障の計算に関して、次の問に答えよ。

図のような送受電端の変圧器の中性点をそれぞれ$R_e$の抵抗で接地したこう長$20{\rm km}$、電圧$66{\rm kV}$、周波数$50{\rm Hz}$の三相3線式1回線送電線路がある。

そのa相1線が$R_f$の抵抗を通じて地絡を生じた場合の地絡電流を求めたい。

（1）地絡電流$\dot{I_g}$を、a相の無負荷電圧$\dot{E_a}$、この送電回路の故障点から見た零相インピーダンス$\dot{Z_0}$、正相インピーダンス$\dot{Z_1}$、逆相インピーダンス$\dot{Z_2}$、及び、地絡点の抵抗$R_f$で表せ。
なお、故障点での各相電圧、各相電流を図に示すように$\dot{V_a}$、$\dot{V_b}$、$\dot{V_c}$、$\dot{I_a}$、$\dot{I_b}$、$\dot{I_c}$とし、それを対称成分に変換したものを$\dot{V_0}$、$\dot{V_1}$、$\dot{V_2}$、$\dot{I_0}$、$\dot{I_1}$、$\dot{I_2}$としたとき、以下の関係となる。

$$\dot{V_0}=-\dot{Z_0}\dot{I_0}$$

$$\dot{V_1}=\dot{E_a}-\dot{Z_1}\dot{I_1}$$

$$\dot{V_2}=-\dot{Z_2}\dot{I_2}$$

また、故障条件から以下の関係となる。

$$\dot{I_b}=\dot{I_c}=0$$

$$\dot{V_a}=\dot{I_a}R_f$$

（2）零相インピーダンス$\dot{Z_0}$、正相インピーダンス$\dot{Z_1}$、逆相インピーダンス$\dot{Z_2}$をそれぞれ求めよ。ただし、1線あたりの対地静電容量$C$は$0.005{\rm μF/km}$、変圧器の中性点の抵抗$R_e$は$\frac{2\ 000}{3}{\rm Ω}$として、その他のインピーダンス、また負荷電流は無視するものとする。
なお、$\pi=3.1416$とする。

（3）小問（2）の条件に加えて、地絡点の抵抗$R_f$が$10{\rm Ω}$の場合における地絡電流の大きさ$\left|\dot{I_g}\right|\left[{\rm A}\right]$を求めよ。

解答・解説

小問（1）

地絡故障の際の条件（1線地絡条件）は、

$$\begin{cases}
\dot{I_a}=\dot{I_g}\\
\dot{I_b}=0\\
\dot{I_c}=0
\end{cases}\tag{1}$$

である。

対称分に変換して、

$$\begin{align}
\left(\begin{matrix}\dot{I_0}\\\dot{I_1}\\\dot{I_2} \end{matrix}\right)
&=\frac{1}{3} \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1\\
1 & a & a^2\\
1 & a^2 & a \end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} \dot{I_a}\\\dot{I_b}\\\dot{I_c} \end{matrix}\right)\\
&=\frac{1}{3} \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1\\
1 & a & a^2\\
1 & a^2 & a\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix} \dot{I_g}\\0\\0\end{matrix}\right)\\
&=\frac{1}{3} \left(\begin{matrix}\dot{I_g}\\\dot{I_g}\\\dot{I_g}\end{matrix}\right)\tag{2}
\end{align}$$

すなわち、

$$\dot{I_0}=\dot{I_1}=\dot{I_2}=\frac{1}{3}\dot{I_g}\tag{3}$$

となる。

さらに、地絡点の電圧$\dot{V_a}$について、

$$\begin{align}
\dot{V_a}&=\dot{I_g} \dot{R_g}\\
&=3\dot{I_0}R_g\\
&=\dot{V_0}+\dot{V_1}+\dot{V_2}\tag{4}
\end{align}$$

である。

以上より、

$$\begin{cases}
\dot{V_0}=-\dot{Z_0} \dot{I_0}\\
\dot{V_1}=\dot{E_a}-\dot{Z_1} \dot{I_1}\\
\dot{V_2}=-\dot{Z_2} \dot{I_2}\\
\dot{V_a}=3\dot{I_0}R_g
\end{cases}\tag{5}$$

となる。

以上より、対称分等価回路は解図1の通りになる。対称分等価回路より、

$$\begin{align}
\dot{I_0}&=\dot{I_1}=\dot{I_2}\\
&=\frac{\dot{E_a}}{3R_f+\dot{Z_0}+\dot{Z_1}+\dot{Z_2}}\tag{6}
\end{align}$$

したがって、

$$\begin{align}
\dot{I_g}&=3\dot{I_0}\\
&=\frac{3\dot{E_a}}{3R_f+\dot{Z_0}+\dot{Z_1}+\dot{Z_2}}\tag{7}
\end{align}$$

となる。

解図1

（答）$\dot{I_g}=\frac{3\dot{E_a}}{3R_f+\dot{Z_0}+\dot{Z_1}+\dot{Z_2}}$

小問（2）

零相インピーダンス$\dot{Z_0}$は、対地静電容量$C$と接地抵抗$R_e$の2並列（※三相共通なので3倍が必要）の並列接続であるので、

$$\begin{align}
\dot{Z_0}&=\frac{1}{\frac{1}{3・\frac{1}{2}R_e}+j\omega C}\\
&=\frac{1}{\frac{1}{3×\frac{1}{2}×\frac{2000}{3}}+j2π×50×0.005×10^{-6}×20}\\
&=\frac{1}{0.001+j31.416×10^{-6}}\\
&=999.020959459-j31.3852424623\left[{\rm Ω}\right]\tag{8}
\end{align}$$

$$\dot{Z_1}=0\left[{\rm Ω}\right]\tag{9}$$

$$\dot{Z_2}=0\left[{\rm Ω}\right]\tag{10}$$

（答）$\dot{Z_0}=999-j31.4\left[{\rm Ω}\right]$, $\dot{Z_1}=0\left[{\rm Ω}\right]$, $\dot{Z_2}=0\left[{\rm Ω}\right]$

小問（3）

小問（1）、小問（2）より、地絡電流$\dot{I_g}$は、

$$\begin{align}
\dot{I_g}&=\frac{3\dot{E_a}}{3R_f+\dot{Z_0}+\dot{Z_1}+\dot{Z_2}}\\
&=\frac{3\times66×10^3×\frac{1}{\sqrt3}}{3×10+999.020959459-j31.3852424623+0+0}\\
&=\frac{114318.706697}{1029.02095945-j31.3852424623}\tag{11}
\end{align}$$

となる。

地絡電流$\dot{I_g}$の大きさは、

$$\begin{align}
\dot{I_g}&=\frac{114318.706697}{\sqrt{1029.02095945^2+31.3852424623^2}}\\
&=111.04299\left[{\rm A}\right]\tag{12}
\end{align}$$

となる。

（答）$\left|\dot{I_g}\right|=111\left[{\rm A}\right]$