令和元年度 電験2種 2次試験 機械・制御 問4の過去問解説(自動制御 フィードバック制御系の極配置と単位インパルス応答)

図のようなフィードバック制御系について、次の問に答えよ。ここで、$R\left(s\right)$と$Y\left(s\right)$は、それぞれ目標値$r\left(t\right)$と制御量$y\left(t\right)$のラプラス変換である。

(1)目標値$R\left(s\right)$から制御量$Y\left(s\right)$までの閉ループ伝達関数$W\left(s\right)$を求めよ。

(2)この閉ループ系の特性根のうちの二つを$-1$、$-2$とするためには、$K_1$及び$K_2$の値をいくらにすればよいか。また、このときのその他の特性根も求めよ。

(3)小問(2)で得られた$K_1$及び$K_2$を用いて、単位インパルス応答$y\left(t\right)$を求めよ。

解答・解説

小問(1)

まずは、解図1に示した$G\left(s\right)$について求める。

解図1

フィードバック制御系の伝達関数として、$G\left(s\right)$は、

$$\begin{align}
G\left(s\right)&=\frac{前向き伝達関数}{1+一巡伝達関数}\\
&=\frac{\frac{1}{s\left(s+2\right)\left(s+4\right)}}{1+K_2s\frac{1}{s\left(s+2\right)\left(s+4\right)}}\\
&=\frac{1}{s\left(s^2+6s+8+K_2\right)}\tag{1}
\end{align}$$

となる。

次に、$W\left(s\right)$を求める。問題のブロック線図を$G\left(s\right)$で置き換えると、解図2になる。

解図2

同様に、

$$\begin{align}
W\left(s\right)&=\frac{前向き伝達関数}{1+一巡伝達関数}\\
&=\frac{K_1G\left(s\right)}{1+K_1G\left(s\right)}\\
&=\frac{\frac{K_1}{s(s^2+6s+8+K_2)}}{1+\frac{K_1}{s\left(s^2+6s+8+K_2\right)}}\\
&=\frac{K_1}{s\left(s^2+6s+8+K_2\right)+K1}\\
&=\frac{K_1}{s^3+6s^2+\left(8+K_2\right)s+K1}\tag{2}
\end{align}

(答)$W\left(s\right)=\frac{K_1}{s^3+6s^2+\left(8+K_2\right)s+K_1}$

小問(2)

特性方程式は、

$$s^3+6s^2+\left(8+K_2\right)s+K_1=0\tag{3}$$

題意より、二つの特性根が-1と-2なので、3つ目の特性根の値をAとすれば、因数分解の結果、

$$\left(s+1\right)\left(s+2\right)\left(s-A\right)=0\tag{4}$$

となる。展開して、

$$s^3+\left(3-A\right)s^2+\left(2-3A\right)s-2A=0\tag{5}$$

となる。

式(3)と式(5)で係数比較すれば、

$$\begin{cases}
6=3-A\\
8+K_2=2-3A\\
K_1=-2A
\end{cases}\tag{6}$$

となる。

以上より、

$$\begin{cases}
A=-3\\
K_1=6\\
K_2=3
\end{cases}\tag{7}$$

となる。

(答)$K_1=6$, $K_2=3$, 残りの特性根は$-3$

小問(3)

式(2)に、$K_1=6$、$K_2=3$を代入すると、

$$\begin{align}
W\left(s\right)&=\frac{K_1}{s^3+6s^2+\left(8+K_2\right)s+K_1}\\
&=\frac{6}{s^3+6s^2+11s+6}\\
&=\frac{6}{\left(s+1\right)\left(s+2\right)\left(s+3\right)}\tag{8}
\end{align}$$

である。単位インパルス応答$r\left(t\right)=\delta\left(t\right)$は、$R\left(s\right)=1$であるから、

$$\begin{align}
Y\left(s\right)&=W\left(s\right)R\left(s\right)\\
&=\frac{6}{\left(s+1\right)\left(s+2\right)\left(s+3\right)}\tag{9}
\end{align}$$

である。ここから、逆ラプラス変換を行っていく。

$$\begin{align}
Y\left(s\right)&=\frac{6}{\left(s+1\right)\left(s+2\right)\left(s+3\right)}\\
&=\frac{C_1}{s+1}+\frac{C_2}{s+2}+\frac{C_3}{s+3}\tag{10}
\end{align}$$

$$\begin{align}
C_1&=\lim_{s→-1} \left(s+1\right)Y\left(s\right)\\
&=\lim_{s→-1} \frac{6}{\left(s+2\right)\left(s+3\right)}\\
&=\frac{6}{\left(-1+2\right)\left(-1+3\right)}\\
&=3\tag{11}
\end{align}$$

$$\begin{align}
C_2&=\lim_{s→-2} \left(s+2\right)Y\left(s\right)\\
&=\lim_{s→-2}\frac{6}{\left(-2+1\right)\left(-2+3\right)}\\
&=-6\tag{12}
\end{align}$$

$$\begin{align}
C_3&=\lim_{s→-3} \left(s+3\right)Y\left(s\right)\\
&=\lim_{s→-3} \frac{6}{\left(s+1\right)\left(s+2\right)}\\
&=\frac{6}{\left(-3+1\right)\left(-3+2\right)}\\
&=3\tag{13}
\end{align}$$

よって、

$$Y\left(s\right)=3\frac{1}{s+1}-6\frac{1}{s+2}+3\frac{1}{s+3}\tag{14}$$

逆ラプラス変換して、

$$y\left(t\right)=3e^{-t}-6e^{-2t}+3e^{-3t}\tag{15}$$

となる。

(答)$y\left(t\right)=3e^{-t}-6e^{-2t}+3e^{-3t}$

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