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今回は、令和3年度 電験2種 2次試験 電力・管理 問4の回答・解説を行います。
目次
問題
分散型電源の系統連系に関して、次の問に答えよ。
図に示す6.6kV三相3線式高圧配電線の末端に、分散型電源を有する需要家が連系されている。
（1）需要家から配電線へ逆潮流（力率1）がある場合の、需要家端の相電圧（1線と中性点間の電圧）$\dot{E_r}$と変電所の相電圧$\dot{E_s}$の関係を示すベクトル図及び関係式を$\dot{E_s}$、$\dot{E_r}$、$\dot{I}$、$R$、$X$を用いて描け。ただし、ベクトル図は$\dot{E_r}$（位相0）を基準とし、電流$\dot{I}$は図中の矢印の向きを正とする。
（2）小問（1）のベクトル図から需要家端の線間電圧値を求めよ。ただし、需要家端からの逆潮流は1 000kW、力率は1（分散型電源、負荷設備ともに1）であり、高圧配電線は当該需要家のみの専用線とし、1線当たりの抵抗$R$及びリアクタンス$X$はそれぞれ3Ω及び$3\sqrt3$Ω、変電所端の線間電圧は6.6kVで一定とする。
回答・解説
■■■（1）■■■
この問題のポイントは、逆潮流の形で、通常の送配電線とは異なり電流が逆向きに流れているため、ベクトル図の書き方として一瞬迷ってしまう点です。
こういった問題を解く際のポイントは、逆潮流が生じている配電線の電圧降下に関する式（1）を導いた後、式（2）のように左辺に送電端電圧、右辺に受電端電圧（基準電圧）となるように式変形することです。
式（2）を導くことができれば、あとは数式に沿って、そのままのベクトル図を描けばOKです。
配電線に逆潮流が生じており、
$$\dot{E_r}=\dot{E_s}+R\dot{I}+jX\dot{I} \tag{1}$$
となっている。
ベクトル図として$\dot{E_r}$を基準にする必要があるから、式(1)を変形して、
$$\dot{E_s}=\dot{E_r}-R\dot{I}-jX\dot{I}\tag{2}$$
となる。
以上より、$\dot{E_r}$を基準としてベクトル図を描くと、解図1の通りになる。
解図1
■■■（2）■■■
先に回答の方針を説明します。
■手順①
緑の三角形について、
- $E_s$は既知
- $X$は既知
- $I$は$\frac{有効電力}{3×E_r}$
となるので、三平方の定理を適用すれば、未知数$E_r$のみで赤のベクトルの長さが導けます。
手順②
赤のベクトルが未知数$E_r$で示され、さらに$R$も$I$も既知であることから、ベクトルの代数和が$E_r$となります。
これによって、$E_r^2$に関する二次方程式を立式し、$E_r^2$の解を得て、その平方根$E_r$が受電端電圧になり、答えを導けます。
■手順①に相当
分散型電源が配電線に流す電流は、逆潮流が1 000kW（三相分であることに注意）、力率1、受電端電圧（相電圧）$E_r$[kV]より、
$$I=\frac{1000}{3Er}\tag{3}$$
これより、$\dot{E_s}$の虚部は、
$$Im\left[\dot{Es}\right]=XI=3\sqrt{3}×\frac{1000}{3Er}=\sqrt{3}×\frac{1000}{Er}\tag{4}$$
である。
以上より、$\dot{E_s}$の実軸成分は、
$$\begin{align}
Re\left[\dot{E_s}\right]&=\sqrt{E_s^2-\left(XI\right)^2}\\
&=\sqrt{\left(\frac{6.6}{\sqrt3}\right)^2-\left(\sqrt3\times\frac{1000}{E_r}\times\frac{1}{1000}\right)^2}\\
&=\sqrt{\left(\frac{6.6}{\sqrt{3}}\right)^2-\left(\sqrt{3}×\frac{1}{Er}\right)^2}[\rm{kV}]\tag{5}
\end{align}$$
となる。
■手順②に相当
ベクトル図より、
$$Er=Re\left[\dot{E_s}\right]+RI\tag{6}$$
であるから、
$$\begin{align}
E_r&=\sqrt{\left(\frac{6.6}{\sqrt3}\right)^2-\left(\sqrt3\times\frac{1}{E_r}\right)^2}+3\times\frac{1000}{3E_r}\times\frac{1}{1000}\\
&=\sqrt{\left(\frac{6.6}{\sqrt{3}}\right)^2-\left(\sqrt{3}×\frac{1}{Er}\right)^2}+\frac{1}{Er} \tag{7}
\end{align}$$
これを解くと、
$$E_r^4-16.52E_r^2+4=0\tag{8}$$
解の公式より、
$$\begin{align}
E_r^2&=\frac{16.52\pm\sqrt{{16.52}^2-4\times1\times4}}{2\times1}\\
&=
\begin{cases}
0.2457876245 \\
16.2742123755
\end{cases}
\tag{9}
\end{align}$$
ここで、$E_r^2=0.2457876245$は不適であるから、
$$Er=4.03413093187\left[\rm{kV}\right]\tag{10}$$
線間電圧$V_r$にすると、
$$\begin{align}
V_r&=\sqrt{3}E_r\\
&=\sqrt{3}×4.03413093187\\
&=6.98711477399\left[\rm{kV}\right]\tag{11}
\end{align}$$
となる。
（答）6.99[kV]